基础知识回

基础知识回顾

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什

么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1???若B?A，则实数a的值构成的集合为1??（答：??1，0，?）

3??3. 注意下列性质：（1）集合a1，a2，??，an的所有子集的个数是2；

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B； 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

??nax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x2?a（∵3?M，∴

a·3?5?032?aa·5?5?025?a5???a??1，???9，25?）

3??∵5?M，∴二 函数

函数图像的变换

1．函数y?f(x?a)的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向

(a?0)或向 (a?0)平移|a|个单位即可得到；左 右

2．函数y?f(x)?a的图像可以把函数y?f(x)的图像沿x轴方向向

(a?0)或向 (a?0)平移|a|个单位即可得到；上 下

3.(1)函数y?f(?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于 对称即可得到；y轴

(2)、函数y??f(x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于 对称即可得到；x轴

(3)、函数y??f(?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于 对称即可得到；原点

(4)、函数y?f(2a?x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于直线 _对称即可得到；x?a

4 (1)函数y?|f(x)|的图像可以将函数y?f(x)的图像的x轴下方部分沿 翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y?f(x)的x轴上方部分即可

(2)函数y?f(|x|)的图像可以将函数y?f(x)的图像右边沿 翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y?f(x)在y轴右边部分即可得到

(3)伸缩变换：函数y?af(x)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标 (a?1)或压缩（0?a?1）为原来的

得到；

函数y?f(ax)(a?0)的图像可以将函数y?f(x)的图像中的每一点纵坐

标__

5．f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

函数的定义域

1在实际寻求函数的定义域时，应当遵守下列规则： （1） 分式的分母不能为零；

（2） 偶次方根的被开方数应该为非负数；

（3） 有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数

的定义域交集（作除法时还要去掉使除式为零的x值）； （4） 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具

体条件限制。

（5）如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。（答：a，?a）

????函数值域的常见求法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），

（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，

（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性， （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，

（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。

（6）导数法

（7）不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

函数的单调性与奇偶性

1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，请注意两者的区别所在。

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

by?ax?(a?0

xb?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(??,?bbbb],[,??)，减区间为[?,0),(0,]. aaaa（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， （4）分割函数法

2 .具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 3.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：

②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或

f(?x)??1f(x)（f(x)?0）。

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是 偶函数；一个偶函数与奇函 数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

函数的周期性

1由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：

①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；