求解有限制条件排列问题的主要方法
(1)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数。
②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数。
(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列。
(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中。
(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列。
(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法。
考点二 二项式定理
1.(2019·昆明市诊断测试)下面是(a＋b)n(n∈N*)当n＝1,2,3,4,5,6时展开式的二项式系数表示形式。
?a＋b?1……………………………1 1?a＋b?2…………………………1 2 1?a＋b?3………………………1 3 3 1?a＋b?……………………1 4 λ 4 1?a＋b?5…………………1 5 μ 10 5 1?a＋b?6………………1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( ) A．5,9 B．5,10 C．6,10 D．6,9
解析 由题意知，题中的二项式系数表示形式为杨辉三角数阵，杨辉三角数阵中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，易得λ＝6，μ＝10。故选C。
答案 C
?
2．若?ax－?
4
1?6
?的展开式的常数项为60，则a的值为( ) x?
?1?61?r－rr6?的展开式的通项为Tr＋1＝C6·(ax)·?－?x?x??
A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析
?
?ax－?
36－2r3r6－rr
＝(－1)·a·C6·x ，令6－2r＝0，得r＝4，则(－1)4·a2·C46＝60，解得a＝±2，故选D。
答案 D
3．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的
1乘积组成，则x3的系数为C34＋2C4＝4＋8＝12。
答案 A
4．(2019·广东湛江一模)(2x－3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第
二项与倒数第三项的系数互为相反数，则(3x－2y)n的展开式的二项式系数之和等于( )
A．16 B．32 C．64 D．128
解析 因为(2x－3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数
11n122第三项的系数互为相反数，所以Cn＝－Cnn·2·(－3)n·2·(－
－
－
－
3)n2，解得n＝4，则(3x－2y)4的展开式的二项式系数之和等于24＝16，故选A。
答案 A
?1?8
5．(2019·天津高考)?2x－8x3?
??
－
的展开式中的常数项为
________。
解析 二项展开式的通项
r
8－4r
·Cr，令8x
8－r?－Tr＋1＝Cr8(2x)
??
1?r?1?r8－
???8x3?＝?－8?·2
8－4r＝0可得
?1?2
r＝2，故常数项为?－8?×26×C2 8＝28。??
答案 28
?1??6．(2019·济南市模拟)x－1?(??
x＋1)5的展开式中，x的系数
为________(用数字作答)。
解析
?1?
?－1?(?x?
11
x＋1)的展开式中，含x的项为xC5(x)4和－
5
213
1×C35(x)，故x的系数为C5－C5＝－5。
答案 －5
7．(2019·福州市质量检测)(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________。
解析 设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5
＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ①，令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ②，②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－
64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)。
答案 3
(1)在应用通项公式时，要注意以下几点
①它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；
②Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； ④对二项式(a－b)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题。
(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法。
基础送分专练(四) 排列、组合与二项式定理
一、选择题
1．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立了绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人
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