齐鲁工业大学硕士学位论文
第3章 随机不确定系统的鲁棒H?滤波
3.1 问题的阐述
考虑下列随机不确定系统（时间变量t省略）：
对?t?0 (3.1) ?A?DF(t)G1,?B?DF(t)G2,?C?DF(t)G3，F?(t)F(t)?I，
F1(t)为不确定时变矩阵，D,G1,G2,G3为适当维数的定常矩阵。不失一般性，设系统状态的初值x0?0。A,B,C,C1,C2,D1为已知适当维数的定常矩阵，由于技术上的原因，x1，x2，x3 不一定能够精确量测到，在这种情况下，我们需要依据量测输出y来估计状态。又由于这里的外部干扰的统计特性未知。因此我们采用在工程上非常有效的H?滤波器，即设计一个滤波器：
??(Afx??Bfy)dt??dx ? (3.2)
??z?Cx?f?使得当系统存在不确定随机干扰时，闭环系统稳定且满足一定的性能指标
[13,14,15,29]
。
3.2 随机不确定系统鲁棒H?滤波
对于随机系统的鲁棒稳定性，可以通过状态反馈控制、输出反馈控制和滤波控制等多种方法使系统保持稳定并且能满足一定的性能指标，此处采用H?滤波器控制
[14,25,26]
?，可将系统(3.2)化为以下增广系统： ?]'，~z?z?z。我们取???[xx~~?A??A0?~?B??B?~?C??C0?D??C2B?，，，C?A???????0??0?BfD1??BfC1Af??Cf
?由此我们采用如下H?性能指标：
JS?~z(t)2L2??2v(t)2L2?0
(3.3)
?为一个抗衰减度，L2(R?R?)为不可料随机过程空间。 此后部分内容略……
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第6章 阳离子分散松香胶在表面施胶中应用
在文[6]中我们可以知道，对于系统，有
dx?(A??A)xdt?(C??C)xdw (3.7)
0如果存在V(t,x)?C2(?t?0??Rn)t?0使得k1x?V(t,x)?k2x222，
LV(t,x)?k3x 对于某些正常数k1、k2、k3成立，则(3.7)是鲁棒二次指数稳定
的，L为(3.7)的微分算子。
定义3.1 随机不确定系统
dx?[(A???)x?(B??B)v]dt?(C??C)xdw x0?Rn (3.8)
是内部稳定的，若当v=0时系统(3.8)是鲁棒二次指数稳定的。
引理3.1 （Schur引理） 对于实矩阵N,M?M?,R?R??0，则下列两个条件是等价的：
(1) M?NR?1NT?0
?M(2) ?T?NN??0 ??R?引理3.2[27] 对于任意合适维的X和Y，我们有
X?Y?XY??X?X?Y?Y
定理3.1 对于任意给定的干扰衰减??0和H?滤波控制(3.4)，如果下列矩阵不等式
~~'~'~~'~~'~~~~~'PA11?A11P?C11PC11?D'D?2PD11D11P?C11PD11D11PC11 (3.9) ~'~~'~~~'~~'~2'?1~'?PB11(?I?G2G2)B11P??I(trD11D11)G33G33?G11G11?G33G33?0 0?P??I (3.10)
?G2?0??2I?G2 (3.11)
有解P?0,??0，那么(3.5)是内部稳定的，并满足一个性能指标Js?0。
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3.3 设计一个H?滤波器
定理3.2 对于任意给定的干扰衰减??0和H?滤波控制(3.4)，如果下列线形矩阵不等式组
??2?ZC?21?B'P11?11C?P?0??D?P11C?D?P11???C2?C1?Z2P11BC?P1100?P1100000000?P22000C?P11D0000?I00P11D00000?0.5I0Z1?Z1?Z2D1???2I?G2?G2D1?Z20000?Cf00000??C2?C?f??0??0??0 (3.16a) ?0?0?0???I??0??P110?????I (3.16b) 0P?22??G2?0 (3.16c) ??2I?G2'P?0,P????其中?2?P22?0,Cf，11A?AP11??I(trDD)G3G3?GG11?G3G3，有解11?1??(P?22?1Z2y)dt，Z1,Z2,??0那么(3.5)是内部稳定的，且Js?0，而dx22Z1x?P?是相应的滤波器。 Z?Cfx~，且分别记不等式(3.16a)，(3.16b)和(3.16c)为 在定理3.2中，令?2??~?1(P11,P22,Z1,Z2,Cf,?,?)?0 (3.19a)
?2(P11,P22,?)?0 (3.19b)
~)?0 (3.19c) ?3(?~则不等式(3.19)关于P11,P22,Z1,Z2,Cf,?,?均为线性的，利用MATLAB中的优化求解器，可以求得不确定随机系统(3.2)的H?干扰抑制界最小的鲁棒滤波器。
定理3.3 如果下面的凸优化问题有解P11?0,P22?0,Cf,Z1,Z2,??0和
~?0， ?~P11?0,P22?0,Cf,Z1,Z2,??0,??0min~? (3.20)
Subject to LMIs
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第6章 阳离子分散松香胶在表面施胶中应用
则存在滤波器(3.4)，使得系统(3.5)内部稳定，且H?干扰抑制界最小，而鲁棒
?1~。??(P?22?1Z2y)dt，Z?Cfx?，且H?干扰抑制界为? H?最优滤波器为dx22Z1x?P3.5 仿真结果
根据以上分析，我们可得到(3.5)是内部稳定的，且Js?0，而
??(Afx??Bfy)dt，Z?Cfx?是相应的滤波器，且H?干扰抑制界为0.12。图3.1 dx给出了状态以及相应的滤波跟踪情况：
图3.1 x1与其滤波器估计值
从上面的图例可以看出，我们设计的滤波器跟踪情况较好，而且H?干扰抑制界最优值较小。从图中可以看出，本文的算法具有很大的优越性。
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