极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，

???4sin?．

(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解： (I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以

x2?y2?4x．

即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程

?x2?y2?4x?0(II)解:由?22,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角

?x?y?4y?0坐标方程为y=－x．

二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型

例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为

，曲线的参数方程为

，点是曲线上的一动点.

（Ⅰ）求线段距离的最小值.

的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的

[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为参数），

，依据中点公式有（为

这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为（5分）

.

（Ⅱ）直线的普通方程为

，

表示以

，曲线的普通方程为

为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线

.因

的距离减去半径，设所求最小距离为d，则此曲线上的点到直线的距离的最小值为三、求曲线的交点坐标

.

例3（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆

?2。(1)求圆O和直线l的直角坐标O:??cos??sin?和直线l:?sin(??)?42方程；当??(0,?)时，求直线l于圆O公共点的极坐标。

解：（1）圆O:??cos??sin?，即?2??cos???sin?

圆O的直角坐标方程为：x2?y2?x?y，即x2?y2?x?y?0

?2直线l:?sin(??)?，即?sin???cos??1则直线的直角坐标方程

42为：y?x?1，即x?y?1?0。

?x2?y2?x?y?0?x?0（2）由?得? 故直线l与圆O公共点的一个极坐

?y?1?x?y?1?0?标为(1,)。

2四、根据条件求直线和圆的极坐标方程

例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos（??轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。 解：（Ⅰ）由?cos(???)?1得?(1cos??3?3

）=1，M,N分别为C与x

23sin?)?12 C直角方程为

13x?y?1即x?3y?222??0时，??2，所以M(2,0)（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直

???2时，??2323?，所以N(,)332角坐标为(0,23) P3点的直角坐标为

(1.323?),则P点的极坐标为(,),336直线

OP极

坐标方程为???,??(??,??)

?五、参数方程的问题

例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三

次联考，23)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为的极坐

参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线标方程为（1）求曲线

的普通方程与曲线的直角坐标方程；

上点的距离的最小值，并求此

（2）设为曲线时点的坐标.

上的动点，求点到

[解析]（1）由曲线

即曲线

： 得两式两边平方相加得： 由曲线

：

的普通方程为：

得：

所以即曲线的直角坐标方程为:

(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到

直线所以当

的距离为

时，的最小值为

，此时点的坐标为

1. (2014山西太原高三模拟考试（一），23)在平面直角坐标系中，曲线

C1的参数方程为，且曲线C1上的点M（2，）

对应的参数 . 且以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

与曲线C2交于点

曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线

. （I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若

是曲线C1上的两点，求

的值.

2.(2014福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系中, 以

为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为

, 直线l的参数方程为:

交于

,

两点.

(为参数) ，两曲线相

（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若

的值．

, 求

[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为

. （4分）

, 直线的普通方程