?3x?t??2直线l的参数方程为?(t为参数)，T为直线l与曲线C的公共点，?y?2?1t?2?以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点T的极坐标；
（II）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)后得到曲线W，过点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为23，求直线m的极坐标方程.
?3x?t?x2y2?解：（I）C的普通方程为??1。将?2代入上式整理得t2?4t?4?0，
62?y?2?1t?2?解得t?2 故
?点T的坐标为(3,1)，其极坐标为
(2,). ………………………5分
6?x??xx2（II）坐标变换式为?故W的方程为?6?y?3y?(y2)3?1，即x2?y2?6…72分
当直线m的斜率存在时,设其方程为y?1?k(x?3)，即kx?y?3k?1?0，
?3k?1k2?1由圆心(0,0)到直线m距离3得?3，k??3，∴直线m为3y??3x?2， 3当直线m的斜率不存在时，其方程为x?3，显然成立. 故
直
线
的
极
坐
标
方
程
为
?cos??3m或
?sin??3?cos??2. …………………10分 318.（2014年长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线l的参数方程为
?3x??1?t??2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐??y?3?1t??2?标系，圆C的极坐标方程为??4sin(??)．（1）求圆C的直角坐标方程；
6?（2）若P(x,y)是直线l与圆面?≤4sin(??)的公共点，求3x?y的取值范
6围．
【解析】：（1）圆C的极坐标方程为??4sin(???)∴
6?31?2?4?sin(??)?4?(sin??cos?)
622又?2?x2?y2,x??cos?,y??sin?，所以x2?y2?23y?2x 所以圆C的普通方程x2?y2?2x?23y?0 （2）『解法
1』：设z?3x?y由圆C的方程
x2?y2?2x?23y?0?(x?1)2?(y?3)2?4
?3x??1?t??2所以圆C的圆心是(?1,3)，半径是2将?代入z??y?3?1t??23x?y得z??t
又直线l过C(?1,3)，圆C的半径是2，所以?2?t?2，所以?2??t?2 即3x?y的取值范围是[?2,2]
19. （昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相
?3x?5?t??2同的长度单位，已知直线l的参数方程为? (t为参数)，圆C
1?y??3?t?2??的极坐标方程为??4cos(??)。（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）
3若点P（x，y）在圆C上，求x?3y的取值范围．
21. （2011年高考（新课标理））直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
?x?2cos?(?为参数),M是C1上的动点,P点满足OP=2OM,P点??y?2?2sin?的轨迹为C2. (Ⅰ)求C2的方程; (Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线???3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异
于极点的交点为B,求|AB|.
【解析】(Ⅰ)设P(x,y),则由条件知M(,),由于M在C1上,
?x?2cos???x?4cos??x?4cos??2∴?,即?,∴C2的参数方程为?(?为
?y?4?4sin??y?4?4sin??y?2?2sin???2x2y2参数);
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为?=4sin?,曲线C2的极坐标方程为
?=8sin?,
∴射线???3与C1的交点A的极径为?1=4sin?3?3,射线???3与C2的交点
B的极径为?2=8sin, ∴|AB|=|?2??1|=23.
22.（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲
?2a,曲线C2的参数方程为线C1的极坐标方程为?sn(??)?42?x??1?cos?,(?为参数,0????). ??y??1?sin?(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C1的极坐标方程为?(222sin??cos?)?a, 222∴曲线C1的直角坐标方程为x?y?a?0.
(Ⅱ)曲线C2的直角坐标方程为(x?1)2?(y?1)2?1(?1?y?0),为半圆弧,
y 如下图所示,曲线C1为一族平行于直线x?y?0的直线, B ?1 O P x 当直线C1过点P时,利用
?1?1?a2?1得a??2?2, ?1A 舍去a??2?2,则a??2?2,当直线C1过点A、B两点时,a??1, ∴由图可知,当?1?a??2?2时,曲线C1与曲线C2有两个公共点.
?x?1?tcos?. (t为参数),
y?tsin?,?23. （2010年高考（全国新课标理））直线C1:?圆C2:??x?cos?,? (?为参数), (Ⅰ)当?=时,求C1与C2的交点坐标;
3?y?sin?,(Ⅱ)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当?变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线; 【答案】解: (I)当??22?3时,C1的普通方程为y?3(x?1),C2的普通方
??y?3(x?1),解得C1与C2的交点为?22??x?y?1,程为x?y?1.联立方程组
123). 2(1,0),(,?(II)C1的普通方程为xsin??ycos??sin??0. A点坐标为
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