。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 知能专练（十二） 数学归纳法
一、选择题
1．已知f(n)＝1＋2＋3＋…＋(2n)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( ) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)＋(2k＋2) B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1) C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2) D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)
解析：选A f(k＋1)＝1＋2＋3＋…＋(2k)＋(2k＋1)＋[2(k＋1)]＝f(k)＋(2k＋1)＋(2k＋2)，故选A.
11
2．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋
23明( )
1
A．1＜2－ 2－111
B．1＋2＜2－2
22－1111
C．1＋2＋2＜2－2
232－11111
D．1＋2＋2＋2＜2－2
2342－1
111
解析：选C 第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋2＋2＜2－2.
232－1
3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立
解析：选A 因为当n＝k(k∈N)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
1111n*
4．证明1＋＋＋＋…＋n＞(n∈N)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的
2342－12
- 1 -
*
*
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
n1
－
2
1*
＜2－n(n≥2)(n∈N)时，第一步需要证
2－1
项数是( )
A．1项 C．k项
B．k－1项 D．2项
k1111
解析：选D 当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋k；当n＝k＋1时，不等式左
2342－11111111k＋1kk端为1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1，增加了k＋…＋k＋1项，共(2－1)－2＋1＝2
232－122－122－1项．
5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)，n∈N”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A．2k＋1 C.2k＋1
k＋1
*
n*
B．2(2k＋1) 2k＋3 D.
k＋1
解析：选B 当n＝k(k∈N)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是
k＋
k＋1
k＋
＝2(2k＋1)．
2
*
6．(2017·杭州模拟)对于不等式n＋n (2)假设n＝k(k∈N)时，不等式成立，即k＋k * 2 2 k＋ 2 ＋k＋ k2＋3k＋ ＋k＋＝k＋ 2 ＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 上述证法( ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：选D n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k(k∈N)到n＝k＋1(k∈N)的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求． 二、填空题 7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 答案：2k＋1 * * * nn - 2 - 8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝上的项为________． 2 n4＋n2 2 ，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加 解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1)，故增加的项为(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1). 答案：(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1) 9．用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值 n2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n0应取________． 解析：当n＝1时，2＝2，不成立． 当n＝2时，4<5，不成立． 当n＝3时，8<10，不成立． 当n＝4时，16<17，不成立． 当n＝5时，32>26，成立． 当n＝6时，64>37，成立． 由此知n0应取5. 答案：5 三、解答题 10．(2017·安庆模拟)已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N)． (1)求证：对任意n∈N，an>2； (2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由． 解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(n∈N)． ①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立； ②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋2>2＋2＝2， 所以n＝k＋1时，结论成立． 故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N，都有an>2成立． (2){an}是单调递减的数列． 因为an＋1－an＝an＋2－an＝－(an－2)(an＋1)， 又an>2，所以an＋1－an<0， 所以an＋1 故{an}是单调递减的数列． 11．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ 2(n∈N)，且点P1的坐标为(1，－1)． 1－4an(1)求过点P1，P2的直线l的方程； 2 2 2 2 2 ** * * bn* - 3 - (2)试用数学归纳法证明：对于n∈N，点Pn都在(1)中的直线l上． 解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1， * b2＝ －1111 ＝，a2＝1×＝， 1－4×1333 y＋1x－1?11?∴P2?，?.∴直线l的方程为＝， 11?33? ＋1－133 即2x＋y＝1. (2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，2ak＋bk＝1成立． 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1 ＝ * bk1－2ak·(2ak＋1)＝＝＝1， 1－4ak1－2ak1－2ak2bk∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立． 由①②知，对于所有的n∈N，都有2an＋bn＝1， 即点Pn在直线l上． 12．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除 * * a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数． (1)写出f(6)的值； (2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足： 若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6. 所以f(6)＝13. (2)当n≥6时， ??23? ??n－1n－1? ＋n＋2＋??，n＝6t＋1，23??? ?n＋n－2?，n＝6t＋2，n＋2＋???23?? f(n)＝??n－1＋n?，n＝6t＋3， n＋2＋?23???? ?n＋n－1?，n＝6t＋4，n＋2＋???23????n－1＋n－2?，n＝6t＋5n＋2＋???23?? ?nn?n＋2＋?＋?，n＝6t， (t∈N) * - 4 - 下面用数学归纳法证明： 66 ①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立． 23 ②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论： a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋ k－1k－2 2＋3 ＋3 ＝(k＋1)＋2＋ k＋1＋ k＋1 23 ，结论成立； b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋kk2＋3 ＋1 ＝(k＋1)＋2＋ k＋ －12＋k＋－13 ，结论成立； c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋ k－1k－1 2＋3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋ k＋1 －2 2 ＋ k＋ 3 ，结论成立； d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋kk－2 2 ＋3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋ k＋ －1＋k＋1 23 ，结论成立； e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋ k－1k2 ＋3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋ k＋1 k＋ －1 2 ＋ 3 ，结论成立； f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋kk－1 2 ＋3 ＋1 ＝(k＋1)＋2＋ k＋ －1＋k＋－2 23 ，结论成立． 综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立． - 5 - ＋
相关推荐：
loading