(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习知能专练(十二)数学归纳法

下面用数学归纳法证明：

66

①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．

23

②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：

a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋

k－1k－2

2＋3

＋3

＝(k＋1)＋2＋

k＋1＋

k＋1

23

，结论成立；

b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋kk2＋3

＋1

＝(k＋1)＋2＋

k＋

－12＋k＋－13

，结论成立；

c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋

k－1k－1

2＋3

＋2

＝(k＋1)＋2＋

k＋1

－2

2

＋

k＋

3

，结论成立；

d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋kk－2

2

＋3

＋2

＝(k＋1)＋2＋

k＋

－1＋k＋1

23

，结论成立；

e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋

k－1k2

＋3

＋2 ＝(k＋1)＋2＋

k＋1

k＋

－1

2

＋

3

，结论成立；

f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有

f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋kk－1

2

＋3

＋1

＝(k＋1)＋2＋

k＋

－1＋k＋－2

23

，结论成立．

综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．

- 5 -

＋