2018年广西柳州市高考数学一模试卷及参考答案(理科)

∴∴

；

＝；

即点C到原点O的距离为5． 故答案为：5．

14．（5分）设x，y满足约束条件【解答】解：x，y满足约束条件

，则z＝2x+y的最小值是 ﹣4 ． ，表示的可行域如图的阴影部分，则z＝2x+y化为：y＝﹣2x+z的几何意义是，直线在y轴上的截距，由可行域可知内的点B，目标函数取得最小值．

解得B（﹣1，﹣2），

则z＝2x+y的最小值是：﹣4． 故答案为：﹣4．

15．（5分）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中，x5与x6的系数相等，则n＝ 7 ．

【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝∵x5与x6的系数相等，∴解得n＝7 故答案为：7．

16．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B2上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝Z，（x，y，z＞0），则下列结论中正确的是 ①③ ． ①EF∥平面DPQ；

②三菱锥P﹣﹣﹣EFQ的体积与Y的变化有关，与x、z的变化无关； ③异面直线EQ和AD1所成角的大小与x、y、z的变化无关．

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【解答】解：在①中，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，∴EF∥平面DPQ，故①正确； 在②中，由点Q到EF的距离等于2

，而EF＝1，故

不变，

而随着点P在AD上运动，P到平面EFQ的距离为变量， 从而使得三棱锥P﹣EFQ的体积跟差变化， ∴三棱锥P﹣EFQ的体积跟着变化，

∴三棱锥P﹣EFQ的体积与x，y，大小无关，与z大小有关，故②错误； 在③中，由线面垂直的判定定理得AD1⊥平面A1DCB1，而直线EQ在平面内运动，

不论EQ怎样运动，总有EQ与AD1成90°，与x，y，z的变化无关，故③正确． 故答案为：①③．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC﹣c＝2b．

（1）求角A的大小； （2）若∠ABC＝，AC边上的中线BD的长为

，求△ABC的面积．

【解答】解：由2acosC﹣c＝2b． 正弦定理，可得2sinAcosC﹣sinC＝2sinB 即2sinAcosC﹣sinC＝2sin（A+C） 可得：﹣sinC＝2cosAsinC、 sinC≠0

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∴cosA＝，

A∈（0，π） 则A＝

．

．∠ABC＝

（2）由（1）可知A＝∴C＝

则AC＝AB．

设AD＝x，则AB＝2x，

在△ABD中利用余弦定理：可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB?ADcosA． 即7x2＝35，可得x＝

，

＝

．

故得△ABC的面积S＝×

18．（12分）未来制造业对零件的精度要求越来越高，3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模具，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径为99.7，99.7，99.8，100.2，100.5，100.7，100.8，100.9，101.3，101.4；（单位：um）． （1）计算平均值μ与标准差σ；假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，测量其内径分别为（单位：um）：99.1，99.5，101.5，102.1，102.2，试问此打印设备是否需要进一步调试，请说明理由．

（2）为判断一个零件的优劣，从加工中的零件重任意抽取一件，记其内径为x，并根据下表规则进行划定等级： 质量指标值分组 等级 不合格 合格 优秀 合格 不合格 x＜98.7 [98.7，99.9） [99.9，101.1） [101.1，102.3） X＞102.3 从抽取的10个零件重，抽取3个，设抽出的3个零件中是优秀零件的个数为X，

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并求X的分布列及数学期望．

参考数据：P（u﹣2σ＜Z＜u+2σ）＝0.9544，P（u﹣3σ＜Z＜u+3σ）＝0.9974． 【

解

答

】

解

：

（

1

）

μ

＝

（99.7+99.7+99.8+100.2+100.5+100.7+100.8+100.9+101.3+101.4）＝100.5um． σ2＝

22[（99.7﹣100.5）2+（99.7﹣100.5）2+（99.8﹣100.5）2+（100.2﹣100.5）

+（100.5﹣100.5）2+（100.7﹣100.5）2+（100.8﹣100.5）2+（100.9﹣100.5）+（101.3﹣100.5）2+（101.4﹣100.5）2]＝0.36， ∴σ＝0.6． 假设机器正常工作，则Z～N（100.5，0.36）， 则P（98.7≤Z≤102.3）＝0.9974， 而试打印的5个零件尺寸均在（98.7，102.3）内，故而机器工作正常，不需调试． （2）由题意可知10个零件中，优秀零件个数有5个， 故而X的可能取值为0，1，2，3． ∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝∴X的分布列为： X P ∴E（X）＝0×＝． 0 +1× 1 +3× 2 3 +2×＝1.5． 19．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

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