山东省淄博市2016年中考试题(数学 解析版)

【解答】解：（1）∵圆心O的纵坐标为， ∴设Q（m，），F（0，∵QO=QF，

∴m2+（）2=m2+（﹣∴a=1，

∴抛物线为y=x2．

（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，）， ∵O、Q、M在同一直线上， ∴KOM=KOQ，

）2， ），

∴∴m=

=， ，

∵QO=QM，

∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2， 整理得到：﹣ t2+t4+t2﹣2mt=0， ∴4t4+3t2﹣1=0， ∴（t2+1）（4t2﹣1）=0， ∴t1=，t2=﹣， 当t1=时，m1=， 当t2=﹣时，m2=﹣．

∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）． （3）设M（n，n2）（n＞0）， ∴N（n，0），F（0，）， ∴MF=

∴MF=MN+OF．

=

=n2+，MN+OF=n2+，

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【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．

24．（9分）（2016?淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：

=

；

（2）求证：AF⊥FM；

（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题． （2）由（1）的结论即可证明．

（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到

=

，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠MAF=∠MBE， ∴A、B、M、F四点共圆， ∴∠ABM+∠AFM=180°， ∴∠AFM=90°， ∴∠FAM=∠FMA=45°， ∴AM=

AF，

∴=．

（2）由（1）可知∠AFM=90°，

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∴AF⊥FM．

（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM 理由：∵A、B、M、F四点共圆， ∴∠BAM=∠EFM， ∵∠BAM=∠FMN， ∴∠EFM=∠FMN， ∴MN∥BD， ∴

=

，∵CB=DC，

∴CM=CN， ∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN， ∴∠BAM=∠DAN， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠BAM=22.5°．

【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．

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