2.3 等差数列的前n项和（1）
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋… ＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)， ∴Sn＝
nn＋1
2
.
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]． 两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝
na1＋an2
.
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， 代入上式可得Sn＝na1＋
nn－1
2
d.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3答案 S3＝
a1＋a3
2
＝3×a1＋a3
2
＝3a2＝21.
思考2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式
1
与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋答案 按n的降幂展开Sn＝na1＋常数项为0.
nn－1
22
d吗？
nn－1
2
ddd ＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数形式，且
2
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形： (1)Sn＝n·
a1＋an2
；
(2)Sn＝n＋(a1－)n；
22
(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)． n22n2
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
答案 (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10) ＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
d2
dSnddSnd10＋…＋4310d＝100d，类似可得 ＝101d4＋44d24410个(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋… ＋a30是等差数列．
梳理 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，
S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N)，
则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，
**
S奇an＝. S偶an＋1
S奇n＝. S偶n－1
类型一 等差数列前n项和公式的应用 命题角度1 方程思想
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
2
解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式Sn＝na1＋
nn－1
2
d，
??10a1＋45d＝310，得到?
?20a1＋190d＝1 220，???a1＝4，解方程组得?
?d＝6.?
∴Sn＝n×4＋
nn－1
22
×6＝3n＋n.
＝310?a1＋a10＝62，
①
②
2
10
方法二 S10＝
a1＋a10
S20＝
20a1＋a20
2
＝1 220?a1＋a20＝122，
②－①得a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋
nn－1
2
d＝3n2＋n.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
an＝a1＋n－1d，??解 由?nn－1
Sd，n＝na1＋?2?a1＋2n－1＝11，??
得?nn－1
na×2＝35，1＋?2?
解方程组得?
?n＝5，???a1＝3
或?
?n＝7，?
??a1＝－1.
命题角度2 实际应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
3
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 60＋60－19×0.5
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
2即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意， 有2n＋
nn－1
2
＋5n＝70，整理得n＋13n－140＝0.
2
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，依题意， 有2n＋
nn－1
2
2
＋5n＝3×70，
整理得n＋13n－420＝0. 解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 类型二 等差数列前n项和的性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
Sn7n＋2a5(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
Tnn＋3b5
解 (1)方法一 在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列．
4
∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，∴
2S2mSmS3m＝＋. 2mm3mSmS2mS3m，成等差数列， m2m3m即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 1
a1＋a9
a52(2)＝ b51
b1＋b929a1＋a9
2
＝ 9b1＋b9
2
S97×9＋2＝＝ T99＋3
65＝. 12
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
?Sn?
跟踪训练3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列???n?
的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d， 1
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
2∵S7＝7，S15＝75，
??7a1＋21d＝7，∴???15a1＋105d＝75，??a1＋3d＝1，即???a1＋7d＝5，??a1＝－2，解得?
?d＝1.?
Sn115∴＝a1＋(n－1)d＝n－， n222
∴
Sn＋1Sn1
－＝， n＋1n2
5
∴数列??Sn??n??
是等差数列，其首项为－2，公差为12，
∴Tn＝n×(－2)＋
nn－1
×1129
22＝4n－4
n.
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( ) A．12 B．24 C．36 D．48
答案 B 解析 由S10
a1＋a10
10＝2，
得aS10120
1＋a10＝
5
＝
5＝24.
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( ) A．2 B．3 C．6 D．7
答案 B
解析 方法一 由???
S2＝2a1＋d＝4，
??
S4＝4a1＋6d＝20，
解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 答案 190 解析 S19
1＋a19
19＝
a＝
19a10＋a10
2
2
＝19a10 ＝19×10＝190. 4．已知等差数列{an}中，
(1)a31
1＝2，d＝－2，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 解 (1)∵S31nn－1
n＝n×2＋(－2)×
2
＝－15，
整理得n2
－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)，
6
a12＝＋(12－1)×(－)＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4. (2)由Sn＝
3212
na1＋an2
＝
n1－512
2
＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．
*
40分钟课时作业
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( ) A．18 C．36 答案 C
99
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
22
2．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( ) 1
A. 21C. 4答案 A 解析 由题意得
11
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
22
B．2 D．4 B．27 D．45
a1
d 7
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
a11
∴10a1＝5d，∴＝.
d2
3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( ) A．－9 C．－13 答案 D
解析 由a3＋a8＋2a3a8＝9得(a3＋a8)＝9， ∵an<0，∴a3＋a8＝－3， 10
∴S10＝
2
2
2
2
2
B．－11 D．－15
a1＋a10
2
10＝
a3＋a8
2
＝
10×－3
＝－15. 2
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 C．36 答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， ∵S3＝9，S6－S3＝27，∴S9－S6＝45. 即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 C．763 答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100， ∴n<15，
1
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
2
6．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.C.2n＋1
B．665 D．663 B．45 D．27
nB.D.
n＋1
nn＋1
2nn－1
n答案 B 解析 S奇＝
n＋1a1＋a2n＋1
2
，S偶＝na2＋a2n2
，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，
8
∴
S奇n＋1＝. S偶n2
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38，则m等于( ) A．38 C．10 答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am， 由am－1＋am＋1－am＝0，得2am－am＝0， 由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2， 又S2m－1＝38， 即
2m－1
2
2
2
B．20 D．9
a1＋a2m－1
＝38，
即(2m－1)×2＝38， 解得m＝10，故选C. 二、填空题
8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________． 答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1
2
. 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. ∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
S31S6
9．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
S63S12
答案
3
10
S33a1＋3d1
解析 方法一 ∵＝＝，
S66a1＋15d3
∴a1＝2d，
S66a1＋15d12d＋15d3＝＝＝. S1212a1＋66d24d＋66d10S31
方法二 由＝，
S63
得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，
9
S12－S9仍然是等差数列，
公差为(S6－S3)－S3＝S3，
从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，
∴
S6S＝310
. 1210．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 答案 15
解析 设等差数列的公差为d， 则S＝3a3×2
31＋2d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋
6×5
2
d＝6a1＋15d＝24， 即2a1＋5d＝8.
由???a1＋d＝1，??2a1＋5d＝8，
解得???
a1＝－1，?
?d＝2.
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 三、解答题
11．已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k. 解 设等差数列{an}的公差为d，
?a＋3则由题意得?a＝2×4，?
d＝4－a，
??ka＋kk－12d＝2 550，
?a＝2，∴?
?d＝2，注：k＝－51舍)
??k＝50，
(∴a＝2，k＝50.
12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 方法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn， 则Sn＝na－1
1＋
nn2
d.
10
??10a1＋10×92
d＝100， ①由已知得???100a1
＋100×99
2
d＝10. ②
①×10－②，整理得d＝－11
50，
代入①，得a1 099
1＝100，
∴S＋110×109
110＝110a12d
＝110×1 099110×109?11?100＋2×??－50??
＝110?
?1 099－109×11?100???
＝－110.
故此数列的前110项和为－110. 方法二 设S2
n＝an＋bn. ∵S10＝100，S100＝10，
2
∴???10a＋10b＝100，
??
1002
a＋100b＝10，
?a11
解得?＝－?100，??b＝111
10.
∴S112111n＝－100n＋10
n.
∴S112
111110＝－100×110＋10
×110＝－110.
13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{bn}是等差数列，且bSnn＝n＋c，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， ∴a2
3，a4是方程x－22x＋117＝0的两个根． 又公差d>0，
∴a3 11 ∴??? a1＋2d＝9，??a1＋3d＝13， ∴??? a1＝1，?? d＝4， ∴an＝4n－3. (2)由(1)知，Snn－1 n＝n×1＋2 ×4＝2n2 －n， ∴bS2n2 n－nn＝n＋c＝n＋c. ∴b11＝ 1＋c，b＝61522＋c，b3＝3＋c. ∵{bn}是等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， ∴2c2 ＋c＝0， ∴c＝－1 2 (c＝0舍去)． 经检验，c＝－1 2符合题意， ∴c＝－1 2 . 12
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