2.3 等差数列的前n项和(1)
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:
设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n, 又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+… +[(n-1)+2]+(n+1), ∴2Sn=n(n+1), ∴Sn=
nn+1
2
.
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和,其方法如下:
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d];
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]. 两式相加,得2Sn=n(a1+an),
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn=
na1+an2
.
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d, 代入上式可得Sn=na1+
nn-1
2
d.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中,若已知a2=7,能求出前3项和S3吗? 3答案 S3=
a1+a3
2
=3×a1+a3
2
=3a2=21.
思考2 我们对等差数列的通项公式变形:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),分析出通项公式
1
与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下Sn=na1+答案 按n的降幂展开Sn=na1+常数项为0.
nn-1
22
d吗?
nn-1
2
ddd =n2+(a1-)n是关于n的二次函数形式,且
2
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形: (1)Sn=n·
a1+an2
;
(2)Sn=n+(a1-)n;
22
(3)=n+(a1-)({}是公差为的等差数列). n22n2
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 如果{an}是等差数列,那么a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列吗?
答案 (a11+a12+…+a20)-(a1+a2+…+a10) =(a11-a1)+(a12-a2)+…+(a20-a10)
d2
dSnddSnd10+…+4310d=100d,类似可得 =101d4+44d24410个(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)=100d. ∴a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+… +a30是等差数列.
梳理 (1)Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,
S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d.
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N),则S2n=n(an+an+1),且S偶-S奇=nd,(3)若等差数列的项数为2n-1(n∈N),
则S2n-1=(2n-1)an,且S奇-S偶=an,S奇=nan,S偶=(n-1)·an,
**
S奇an=. S偶an+1
S奇n=. S偶n-1
类型一 等差数列前n项和公式的应用 命题角度1 方程思想
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
2
解 方法一 由题意知S10=310,S20=1 220, 将它们代入公式Sn=na1+
nn-1
2
d,
??10a1+45d=310,得到?
?20a1+190d=1 220,???a1=4,解方程组得?
?d=6.?
∴Sn=n×4+
nn-1
22
×6=3n+n.
=310?a1+a10=62,
①
②
2
10
方法二 S10=
a1+a10
S20=
20a1+a20
2
=1 220?a1+a20=122,
②-①得a20-a10=60, ∴10d=60, ∴d=6,a1=4. ∴Sn=na1+
nn-1
2
d=3n2+n.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运用;
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
an=a1+n-1d,??解 由?nn-1
Sd,n=na1+?2?a1+2n-1=11,??
得?nn-1
na×2=35,1+?2?
解方程组得?
?n=5,???a1=3
或?
?n=7,?
??a1=-1.
命题角度2 实际应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
3
解 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1 000×1%=60(元),
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5(元),
…
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5(元),
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列, 60+60-19×0.5
所以有S20=×20=1 105(元),
2即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
反思与感悟 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解 (1)设n分钟后第1次相遇,依题意, 有2n+
nn-1
2
+5n=70,整理得n+13n-140=0.
2
解之得n=7,n=-20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n分钟后第2次相遇,依题意, 有2n+
nn-1
2
2
+5n=3×70,
整理得n+13n-420=0. 解之得n=15,n=-28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 类型二 等差数列前n项和的性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;
Sn7n+2a5(2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求的值.
Tnn+3b5
解 (1)方法一 在等差数列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列.
4
∴2×70=30+(S3m-100), ∴S3m=210.
方法二 在等差数列中,,∴
2S2mSmS3m=+. 2mm3mSmS2mS3m,成等差数列, m2m3m即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 1
a1+a9
a52(2)= b51
b1+b929a1+a9
2
= 9b1+b9
2
S97×9+2== T99+3
65=. 12
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
?Sn?
跟踪训练3 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列???n?
的前n项和,求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d, 1
则Sn=na1+n(n-1)d,
2∵S7=7,S15=75,
??7a1+21d=7,∴???15a1+105d=75,??a1+3d=1,即???a1+7d=5,??a1=-2,解得?
?d=1.?
Sn115∴=a1+(n-1)d=n-, n222
∴
Sn+1Sn1
-=, n+1n2
5
∴数列??Sn??n??
是等差数列,其首项为-2,公差为12,
∴Tn=n×(-2)+
nn-1
×1129
22=4n-4
n.
1.在等差数列{an}中,若S10=120,则a1+a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48
答案 B 解析 由S10
a1+a10
10=2,
得aS10120
1+a10=
5
=
5=24.
2.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7
答案 B
解析 方法一 由???
S2=2a1+d=4,
??
S4=4a1+6d=20,
解得d=3.
方法二 由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3. 3.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=________. 答案 190 解析 S19
1+a19
19=
a=
19a10+a10
2
2
=19a10 =19×10=190. 4.已知等差数列{an}中,
(1)a31
1=2,d=-2,Sn=-15,求n及an;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. 解 (1)∵S31nn-1
n=n×2+(-2)×
2
=-15,
整理得n2
-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去),
6
a12=+(12-1)×(-)=-4.
∴n=12,an=a12=-4. (2)由Sn=
3212
na1+an2
=
n1-512
2
=-1 022,
解得n=4.
又由an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171.
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用:
若m+n=p+q,则an+am=ap+aq(n,m,p,q∈N);若m+n=2p,则an+am=2ap. 3.本节基本思想:方程思想,函数思想,整体思想,分类讨论思想.
*
40分钟课时作业
一、选择题
1.在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则该数列的前9项和S9等于( ) A.18 C.36 答案 C
99
解析 S9=(a1+a9)=(a2+a8)=36.
22
2.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于( ) 1
A. 21C. 4答案 A 解析 由题意得
11
10a1+×10×9d=4(5a1+×5×4d),
22
B.2 D.4 B.27 D.45
a1
d 7
∴10a1+45d=20a1+40d,
a11
∴10a1=5d,∴=.
d2
3.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且an<0,则S10为( ) A.-9 C.-13 答案 D
解析 由a3+a8+2a3a8=9得(a3+a8)=9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, 10
∴S10=
2
2
2
2
2
B.-11 D.-15
a1+a10
2
10=
a3+a8
2
=
10×-3
=-15. 2
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( ) A.63 C.36 答案 B
解析 数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∵S3=9,S6-S3=27,∴S9-S6=45. 即a7+a8+a9=S9-S6=45.
5.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( ) A.765 C.763 答案 B
解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100, ∴n<15,
1
∴n=14,S14=14×2+×14×13×7=665.
2
6.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.C.2n+1
B.665 D.663 B.45 D.27
nB.D.
n+1
nn+1
2nn-1
n答案 B 解析 S奇=
n+1a1+a2n+1
2
,S偶=na2+a2n2
,
∵a1+a2n+1=a2+a2n,
8
∴
S奇n+1=. S偶n2
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-am=0,S2m-1=38,则m等于( ) A.38 C.10 答案 C
解析 因为{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am, 由am-1+am+1-am=0,得2am-am=0, 由S2m-1=38知am≠0,所以am=2, 又S2m-1=38, 即
2m-1
2
2
2
B.20 D.9
a1+a2m-1
=38,
即(2m-1)×2=38, 解得m=10,故选C. 二、填空题
8.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为________. 答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.
∴钢管总数为1+2+3+…+n=nn+1
2
. 当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200. ∴n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.
S31S6
9.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=________.
S63S12
答案
3
10
S33a1+3d1
解析 方法一 ∵==,
S66a1+15d3
∴a1=2d,
S66a1+15d12d+15d3===. S1212a1+66d24d+66d10S31
方法二 由=,
S63
得S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,
9
S12-S9仍然是等差数列,
公差为(S6-S3)-S3=S3,
从而S9-S6=S3+2S3=3S3?S9=6S3,
S12-S9=S3+3S3=4S3?S12=10S3,
∴
S6S=310
. 1210.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________. 答案 15
解析 设等差数列的公差为d, 则S=3a3×2
31+2d=3a1+3d=3,
即a1+d=1,
S6=6a1+
6×5
2
d=6a1+15d=24, 即2a1+5d=8.
由???a1+d=1,??2a1+5d=8,
解得???
a1=-1,?
?d=2.
故a9=a1+8d=-1+8×2=15. 三、解答题
11.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前k项和Sk=2 550,求a及k. 解 设等差数列{an}的公差为d,
?a+3则由题意得?a=2×4,?
d=4-a,
??ka+kk-12d=2 550,
?a=2,∴?
?d=2,注:k=-51舍)
??k=50,
(∴a=2,k=50.
12.一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和. 解 方法一 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn, 则Sn=na-1
1+
nn2
d.
10
??10a1+10×92
d=100, ①由已知得???100a1
+100×99
2
d=10. ②
①×10-②,整理得d=-11
50,
代入①,得a1 099
1=100,
∴S+110×109
110=110a12d
=110×1 099110×109?11?100+2×??-50??
=110?
?1 099-109×11?100???
=-110.
故此数列的前110项和为-110. 方法二 设S2
n=an+bn. ∵S10=100,S100=10,
2
∴???10a+10b=100,
??
1002
a+100b=10,
?a11
解得?=-?100,??b=111
10.
∴S112111n=-100n+10
n.
∴S112
111110=-100×110+10
×110=-110.
13.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}是等差数列,且bSnn=n+c,求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117, ∴a2
3,a4是方程x-22x+117=0的两个根. 又公差d>0,
∴a3 11 ∴??? a1+2d=9,??a1+3d=13, ∴??? a1=1,?? d=4, ∴an=4n-3. (2)由(1)知,Snn-1 n=n×1+2 ×4=2n2 -n, ∴bS2n2 n-nn=n+c=n+c. ∴b11= 1+c,b=61522+c,b3=3+c. ∵{bn}是等差数列, ∴2b2=b1+b3, ∴2c2 +c=0, ∴c=-1 2 (c=0舍去). 经检验,c=-1 2符合题意, ∴c=-1 2 . 12
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