3x2y213.已知椭圆M:2+2?1(a?b?0)过点A(0,?1)，且离心率e?．
2ab（Ⅰ）求椭圆M的方程．
（Ⅱ）若椭圆M上存在点B、C关于直线y?kx?1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于?k?S，BC的中点恒在一条定直线上．
?3?x2y21C:2+2?1(a?b?0)?1,?14.已知椭圆ab的离心率为2，且过点?2?．若点M(x0,y0)在椭圆C?xy?N?0,0?上，则点?ab?称为点M的一个“椭点”．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l:y?kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出
定值；若不为定值，说明理由．
2x2y2e??2?1(a?b?0)22，且椭圆经过点b15.已知椭圆C的标准方程为a，离心率
(0,1)．过右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程． （Ⅱ）若|AB|?42，求直线l的方程． 3（Ⅲ）在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MA，MB为邻边的四边形MATB是菱形，且点T在椭圆上．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
6
16.已知一个动圆与两个定圆(x?2)2?y2?轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；
14922和(x?2)?y?均相切,其圆心的44(2)过点F（2,0)做两条可相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C交于A,B两点, l2与曲线 C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线x?
2交于M，N两点。求证|MF|:|NF|为定值.
x2y2117.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点(23,?3)，A，B是椭圆
ab2C上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：x?8，且AA1?l，垂足为A1，BB1?l，垂足为B1，若D(3,0)，且△A1B1D的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值．
7
试卷答案
1.解：（Ⅰ）F1(?1,0)，F2(1,0)
（Ⅱ）（i）当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知m=0.
（ii）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得x1??1,x2??1. 直线PA的斜率为
y1?mkx1?(k?m)m?；直线PF2的斜率为?； x1?1x1?12y2?mkx2?(k?m)?. x2?1x2?1直线PB的斜率为
由题意得
kx1?(k?m)mkx?(k?m)?(?)?2?0.
x1?12x2?1化简整理得(4k?m)x1x2?3m(x1?x2)?(4k?5m)?0.(*) 将直线AB的方程y?k(x?1)代入椭圆方程，化简整理得
(4k2?3)x2?8k2x?4k2?12?0.
8k24k2?12,x1x2?. 由韦达定理得x1?x2?4k2?34k2?3代入(*)并化简整理得16k2m?20k?m?0.从而m??当k?0时，m?0；当k?0时，|m|?故m的所有整数值是－2,－1,0,1,2.
2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点P?0,1?，设点A为?x0,y0?.因为B是A关于原点O的对称点，所以点B为??x0,?y0?.
设?PAB的面积为S，则S?S?PAO?S?PB0?2S?PAO?2?因为?2?x0?2，所以当x0??2时，S有最大值2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知P?0,1?,B??x0,?y0?(x0?0,且y0??1). 所以，直线PB的斜率为
20k.
16k2?120|k|20|k|5??.
16k2?1216k221POx0?x0. 21?y0?x1?y0?，线段PB的中点为??0,?， x022?? 8
于是PB的中垂线方程为y?1?y0x?x???0?x?0?. 2y0?1?2?1?x02?y02令x?0，得N的纵坐标yN?.
2?y0?1?x2?y2?1并化简得(1?4k2)x2?8kx?0. 又直线l的方程为y?kx?1，将方程代入48k1?4k2,y0?, 由题意，x0??221?4k1?4k8k21?4k221?(?)?()2212k21?4k1?4k??所以，yN?. 221?4k1?4k2(?1)1?4k212k2?1. 因为点N在椭圆内部，所以?1??21?4k解得?22?k?. 4422,0)U(0,). 44又由已知k?0，所以斜率k的取值范围是(?
52a2-b2b2b23.(1)由=e==1-2，=， 29aaa3依题意，△MB1B2是等腰直角三角形， 从而b=2，故a=3，
x2y2所以椭圆C的方程是+=1.
94(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+2， 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得：
(4m2+9y2+16my-20=0，y1+y2=)-16m，y1?y224m+9-20， 24m+9若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以KPA+KPB=0， 设P(n,0)，则有
y1y+2=0， x1-nx2-n将x1=my1+2，x2=my2+2代入得，2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0， 整理得(2n-9)m=0，
9
9由于上式对任意实数m都成立，所以n=.
2骣9综上，存在定点P琪琪,0，使PM平分∠APB.
2桫
4.解：（Ⅰ）l经过点E(0,1)且倾斜角为所以直线l的方程为y??x?1，
22??y??x?1x??x??2??2?72联立?x，解得?或?， yy?315??1???y???1612?7?3π， 422362??15??36??36?∴|AB|??． ??2?????3????????77777????????（Ⅱ）设直线p:y?kx?m，M(x1,y1)，N(x2,y2)， 将直线p:y?kx?m与椭圆联立可得：
?y?kx?m?2，消去y得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?48?0， ?xy2?1???16122222∴??64k2m2?4(3?4k2)(4m2?48)?0， ∴16k2?12?m2，
?8km4m2?48∴x1?x2?，x1x2?， 23?4k23?4k设MN中点F(x0,y0)， ∴x0?x1?x2?4km3m?y?kx?m?，， 0023?4k23?4k2∵|ME|?|NE|，∴EF?MN，
3m?123?4k?k??1， ?k??1，∴
?4km3?4k2∴kEF∴m??(4k2?3)代入①可得：16k2?12?(4k2?3)2， 11∴16k4?8k2?3?0，解得??k?．
22?11?故直线p斜率的取值范围是??,?．
?22? 10
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