数列的前n项和的求法
1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
n(n?1)21?2?3?L?n?1n(n?1)，12?22?L?n2?1n(n?1)(2n?1)，13?23?33?L?n3?[].
262?123n例1、已知log3x?，求x?x?x?????x????的前n项和.
log23?11?log3x??log32?x? 解：由log3x?log23223n由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x （利用常用公式）
11(1?)nx(1?xn)22＝1－1 ＝＝
11?x2n1?22.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公
式法求和.
111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa例2、 求数列的前n项和：1?1,将其每一项拆开再重新组合得
111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. 例3、求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
Sn?(1?将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序）
?22又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1
①+②得 （反序相加）
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5
4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.
例4、 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
234n设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………. ② （设制错位）
1
234n?1n①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn? 2(1?x)2462n例5、求数列,2,3,???,n,???前n项的和.
22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
25.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项
相消法求和.常用裂项形式有：
11?1?1；②?1(1?1)； n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111111111111??2???； ③2?2?(?)，?kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1kkk?12k?1k?1n111111???[?] ；⑤④；
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!22⑥2(n?1?n)? ?1??2(n?n?1). n?n?1nn?n?1111,,???,,???的前n项和. 例6、 求数列
1?22?3n?n?11?n?1?n （裂项） 解：设an?n?n?1111??????则 Sn? （裂项求和）
1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
①
＝n?1?1
212n??????，又bn?，求数列{bn}的前n项的和.
an?an?1n?1n?1n?112nn??????? 解： ∵ an?n?1n?1n?12211 ∴ bn??8(?) （裂项）
nn?1nn?1?22例7、 在数列{an}中，an?∴ 数列{bn}的前n项和
2
1111111Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)] （裂项求和）
22334nn?118n ＝8(1? ) ＝
n?1n?16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 例8 、求1?11?111?????111??1之和. ????n个111k???1??999???9?(10?1) （找通项及特征） 解：由于111????????99k个1k个1∴ 1?11?111?????111??1 ????n个111111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 999911123n?1?1???＝(10?10?10?????10)?(1??????1)
99???n个1＝
110(10n?1)n? ＝?910?191n?1＝(10?10?9n) 817、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例9、 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
2014年全国高考数学试题分类汇编（数列） 1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列?an?的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则?an?的前n项和
Sn=
（A） n?n?1? （B）n?n?1? （C）
n?n?1?2 (D)
n?n?1?2
【答案】A
2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{an}中，a4?2,a5?5，则数列{lgan}的前8项和等于 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C．
3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C
3
4.【2014·北京卷（理5）】设{an}是公比为q的等比数列，则\q?1\是\an}\为递增数列的（ ）
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
5.【2014·天津卷（文5）】设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1=（ ）
（A）2 （B）-2 （C）
11 （D）? 22【答案】D.
6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{an}的前n项和Sn，若a1?2,S3?12，则a6?( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C
7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{an}的公差为d，若数列{21n}为递减数列，则（ ） A．d?0 B．d?0 C．a1d?0 D．a1d?0
【答案】D
8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N， 得出数列的通项公式是（ ）
aaA.an?2n B.an?2(n?1) C.an?2n D.an?2n?1
【答案】C 9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是（ ）
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
【答案】D
10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{an}中,a1?2,a3?a5?10，则a7?（ ） 【答案】B
A.5 B.8 C.10 D.14
1，a=2，则a=_________. 1?an2111.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列?an?满足an?1=
【答案】
12.【2014·安徽卷（理12）】数列?an?是等差数列，若a1?1，a3?3，a5?5构成公比为q的等比数列，则q?________. 【答案】q?1。
13.【2014·北京卷（理12）】若等差数列?an?满足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，则当n?________时?an?的前n项和最大.
【答案】8
14.【2014·天津卷（理11）】设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成
4
1 2等比数列，则a1的值为__________. 【答案】-1 215.【2014·江西卷（文13）】在等差数列?an?中，a1?7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n?8时
Sn取最大值，则d的取值范围_________.
7【答案】?1?d??
8516.【2014·广东卷（理13）】若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e，则lna1?lna2?L?lna20? 。
【答案】50
17.【2014·广东卷（文13）】等比数列?an?的各项均为正数且a1a5?4，则
log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5 ＝ . 【答案】5
18.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中
?为常数.
(Ⅰ)证明：an?2?an??；
（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)由题设anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，两式相减
an?1?an?2?an???an?1，由于an?0，所以an?2?an?? …………6分
（Ⅱ）由题设a1=1，a1a2??S1?1，可得a2??1?1，由(Ⅰ)知a3???1 假设{an}为等差数列，则a1,a2,a3成等差数列，∴a1?a3?2a2，解得??4； 证明??4时，{an}为等差数列：由an?2?an?4知
数列奇数项构成的数列?a2m?1?是首项为1，公差为4的等差数列a2m?1?4m?3 令n?2m?1,则m?n?1，∴an?2n?1(n?2m?1) 2数列偶数项构成的数列?a2m?是首项为3，公差为4的等差数列a2m?4m?1 令n?2m,则m?n，∴an?2n?1(n?2m) 2*∴an?2n?1（n?N），an?1?an?2
因此，存在存在??4，使得{an}为等差数列. ………12分
19.【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知?an?是递增的等差数列，a2，a4是方程x?5x?6?0的根。
2（I）求?an?的通项公式； （II）求数列?
?an?的前n项和. n??2?5
相关推荐：
loading