动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与
A △CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
D Q C （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度B P 从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
32、直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，
4同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
48（3）当S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点
5O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
P y B O Q A x 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B
两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
B 5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运
E Q D A P C 图16
动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C?时，请直接写出t的值． ．．
l 6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是C E AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆
O 时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?． A D （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； C ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时ADO 的长为 ；
（2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
A 7如图，在梯形中，ABCD（备用图）
A∥D，?B3，C，?A5D，∠?4D．2CM?4A?5B动点从B点出
BB B 发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动
A D 点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长． N （2）当MN∥AB时，求t的值． B C M （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中
点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
N A A A D D D
9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点CN
在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀P P F F F E E E 速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． B AB上运动时，点QB C 的横坐标C B C x（长度单位）关于运动时间(1)当P点在边tM M
（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速图1 图2 图3 度；
（第25题） A D A C的坐标； D (2)求正方形边长及顶点
E
F
B E
F
B C C
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角
?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E
是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 11已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，D D A A D A 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边F F AB交于点D．
y （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； B E C E C G G
??x，OC?（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设图OB图1 2
B B y，试写出y关图3 y O B A x B C E G F 于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．
y x
O A F B 12如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上
CE1A M D 一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当?CD2AM时，求的值．
x BNO A E 方法指导： 类比归纳 AMCEBN1、AMAM的长，不妨设：AB=2 为了求得的值，可先求?，在图（BN1）中，若则的值等于 ；B C N CD3BN图（1） CE1AMCE1?，?（n为整数）若则的值等于 ；若，CD4BNCDnAM则的值等于 ．（用含n的式子表示） BN联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，DAB1CE1AM??m?1?，?，重合），压平后得到折痕MN，设则的值等BCmCDnBNF
A
M
D E
于 ．（用含m，n的式子表示）
12..如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为（秒）t。
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出出当t为何值时，① PD＝PQ，② DQ＝PQ ？
13.三角形ABC中，角C=90度，角CBA=30度，BC=20根号3。一个圆心在A点、半径为6的圆以2个单位长度/秒的速度向右运动，在运动的过程中，圆心始终都在直线AB上，运动多少秒时，圆与△ABC的一边所在的直线相切。
1.解：（1）①∵t?1秒，
∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ············································································································ （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t∴vQ?BP4?秒， 33?CQ515···························································································· （7分） ??厘米/秒． ·
4t43（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
15x?3x?2?10， 480解得x?秒．
380?3?80厘米． ∴点P共运动了3∵80?2?28?24，
由题意，得
∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过
80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ····························································· （12分） 32.解（1）A（8，0）B（0，6）······················· 1分 （2）
OA?8，OB?6
8?8（秒） 1点Q由O到A的时间是
?点P的速度是
6?10···· 1分 ?2（单位/秒） ·
8当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t2··················································································································································· 1分
当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t,
PDAP48?6t，得PD?， ············································ 1分 ?BOAB51324································································································· 1分 ?S?OQ?PD??t2?t ·
255如图，作PD?OA于点D，由
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）P?，? ································································································································ 1分
?824??55???824??1224??1224?I1?，?，M2??，?，M3?，?? ········································································ 3分
5??55??55??53.解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k+4=(8+k)， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线
段OB上时,作PE⊥CD于E. ∵△PCD为正三角形，∴DE= ∴PE=2
2
2
13CD=，PD=3， 2233. 2∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，
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