其中为风险中性概率，参见式(3.4)。
由于可取值0，1，2，…，T,所以期权的期望价值为
E?CT????T!qn(1?q)T?nmax(undT?nS?X,0).
n?0(T?n)!n!T 由风险中性评价公式，得期权在时的价值
C?1?1?r?fTT!qn(1?q)T?nmax(undT?nS?X,0) (3.11) ?n?0(T?n)!n!T 命题3.3的证明过程中(3.11)式比较复杂，所以要对其进行简化，令为使得的最小正整数，则当，，从而式(3.11)可以改写为
C?T1?1?r?fTT!qn(1?q)T?n(undT?nS?X) ?n?0(T?n)!n!TnT?nT!XnT?nud?S?q(1?q)?Tn?0(T?n)!n!?1?rf??1?rf?TT!qn(1?q)T?n (3.12) ?n?0(T?n)!n!T如记
，，
则
q(1?q)nT?nundT?n?1?rf?T??q??(1?q?)T?n，
n从而(3.12)可写成为
XT!nC?S??q??(1?q?)T?n?n?0(T?n)!n!?1?rfSB?n?a|T,q???XT?TT!nq(1?q)T?n ???n?0(T?n)!n!T?1?r?fTB?n?a|T,q? (3.13)
这就是期二项式模型欧式看涨期权的定价公式[6]。
4 Black-Scholes模型
4.1 股票价格的行为模式
在第三章我们讨论了期权的离散模型，它只是假设股价在离散的时点上才发生变化没，而且每次变化只能取两个可能的状态之一。接下来的这部分就要考虑期权定价的连续模型，即考虑时间和股价都是连续的。在本节，我们将提供一种循序渐进的方法去了解股票价格遵循的随机过程。
定义4.1：马尔可夫过程，是一种说明只有变量的当前值和未来的预测有关的随机过程。
人们通常假设股票价格遵循马尔可夫过程，所以股票价格行为模型通常采用马尔科夫随机过程的一种特殊形式，即维纳过程来表达，也称布朗运动。
我们要理解遵循Wiener过程的变量的行为，可以考虑在小时间间隔上变量值的变化。
定义4.2：设一个小的时间间隔长度为，定义为在时间内的变化。要使遵循Wiener过程，必须满足:
(1):与的关系满足方程式
(4.1)
其中为从N(0，l)分布中抽取的一个随机值。
(2):对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。
从定义4.2中可以看出本身具有正态分布，即的均值=，的方差=. 变量的一般化Wiener过程用定义如下:
(4.2)
其中，为常数。方程(4.2)给出的一般性Wiener过程其漂移率的期望值为，方差率的期望值为。
但是股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数。更一般地，我们可以说任何一个衍生证券的价格都是这些标的衍生债券的随机变量和时间的函数。所有任何研究衍生证券的严谨学者都必须对随机变量函数的行为有所了解，在这一领域内的一个重要结论由一个叫K.Ito的数学家在1951年发现。因此称为Ito定理。 定理4.1：假设变量的值遵循Ito过程：
(4.3)
其中是一个维纳过程，和是和的函数。变量的漂移率为和方差率为.Ito定理表明和的函数遵循如下过程：
?V?G1?2G2?GdVt?(a??b)dt?bdz (4.4)
?t?t2?x2?x由于是维纳过程，所以也遵循Ito过程。 4.2 历史回顾
1990年Louis Bachelier发表了他的学位论文“投机交易理论”，在论文中首次利用随机游动的思想给出了股票价格运行的随机模型，在这篇论文中，他提到了期权定价问题。
1964年Paul Samuelson对L.Bachelier的模型进行了修正。以股票的回报代替原模型中的股票价格。若表示股票价格，那么表示股票的回报，P.Samuelson提出的随机微分方程是
(4.5)
这个模型克服了原先模型中可能使股票价格出现负值的不合理情况。 基于这个模型，P.Samuelson还研究了看涨期权的定价问题，可表述为： 设是看涨期权的期权金，是股价，是敲定价，是到期时间，则
?STC?e??cT??SeN(d1)?KN(d2)?? (4.6)
其中
(4.7)
这里，分别是原生资产价格和期权的价格的回报在时刻的期望值。这两个量依赖于投资人的个人爱好，所以美足不足的是它在实际交易中不能运用。 1973年Fischer Black和Myron Scholes建立了看涨期权定价公式
(4.8)
和公式比较，这里用无风险利率代替了，，创新之处在于不依赖于投资人的偏好，因此他们获得诺贝尔经济学奖。 4.3 Black-Scholes方程 基本假设:
(1).原生资产价格演化遵循几何Brown运动
(4.9)
(2).无风险利率是常数且对所有到期日都相同。 (3).原生资产不支持股息。 (4).不支付交易费和税收。 (5).不存在无风险套利机会。 (6).允许使用全部所得卖空衍生证券。 (7).证券交易是连续的。
(8).在衍生证券的有效期内没有红利支付。
?C?C122?2C?rS??S?rC?0。 命题4.1：Black-Scholes方程为2?t?S2?S 证明：设是欧式看涨期权价格，它在期权的到期日时，
，
这里是期权的敲定价，现在要求期权在有效时间内的价值。 利用对冲技巧，我们给出欧式期权定价的数学模型。 形成投资组合
，
(是原生资产的份额)，选取适当的使得在时段内，是无风险的。
设在时刻形成投资组合，并在时间段内，不改变份额。那么由于是无风险的，因此在时刻，投资组合的回报是
即
dCt??dSt?r?tdt?r(Ct??St)dt (4.10)
由于
，
其中是由随机微分方程(4.9)确定的方程，因此有Ito公式
?C?C122?2C?CdCt?(??S??S)dt??Sdz. 2?t?S2?S?S把它代入式(4.10)得
?C?C122?2C?C(??S??S???S)dt?(?S???S)dz. ?t?S2?S2?S (4.11)
由于等式右端是无风险的，由此等式左端随机项的系数必为0，即选取
(4.12)
把它带入式(4.11)，并消去得到
?C?C122?2C?rS??S?rC?0 ?t?S2?S2这就是刻画欧式看涨期权价格变化的偏微分方程——Black-Scholes方程。 4.4 Black-Scholes公式(欧式看涨期权的定价)
命题4.2：Black-Scholes公式为C(S,t)?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)。 证明：为了确定在合约有效期内[0,T]内期权的价值，就是要在区域
上求解定解问题：
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