13? 2221151?2?3?，
23311171?2?2?2?，
23441?……
照此规律，第五个不等式为 ． ．．．
n25．(2012湖南)设N?2(n?N,n…2)，将N个数x1,x2,???,xN依次放入编号为1,2，…，
*N的N个位置，得到排列P0?x1x2???xN．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数
NN和后个位置，得到排列22NP个数，并1?x1x3???xN?1x2x4???xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段
2Ni对每段作C变换，得到P2；当2剟in?2时，将Pi分成2段，每段i个数，并对
2取出，并按原顺序依次放入对应的前
每段C变换，得到Pi?1，例如，当N=8时，P2?x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第 个位置；
（2）当N?2（n…8）时，x173位于P4中的第 个位置. 26．(2011陕西)观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n个等式为 ．
2nnn27．(2010浙江)设n?2,n?N,(2x?)?(3x?)?a0?a1x?a2x?????anx，将
n1213ak(0?k?n)的最小值记为Tn，则T2?0,T3?Tn,???其中Tn=__________________．
28．(2010福建)观察下列等式：
1111?,T?0,T??,???, 4523332535① cos2?=2cos2??1；
② cos4?=8cos4??8cos2?+ 1；
③ cos6?=32cos6??48cos4?+ 18cos2??1；
④ cos8?=128cos8??256cos6?+ 160cos4??32cos2?+ 1；
⑤ cos10?=mcos10??1280cos8?+ 1120cos6?+ncos4?+pcos2??1． 可以推测，m?n?p= ． 三、解答题
29．（2018北京）设n为正整数，集合A={?|??(t1,t2,L,tn),tk?{0,1},k?1,2,L,n}．对
于集合A中的任意元素??(x1,x2,L,xn)和??(y1,y2,L,yn)，记M(?,?)?
1[(x1?y1?|x1?y1|)?(x2?y2?|x2?y2|)?L?(xn?yn?|xn?yn|)]． 2(1)当n?3时，若??(1,1,0)，??(0,1,1)，求M(?,?)和M(?,?)的值；
(2)当n?4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素?,?，当?,?相同时，
M(?,?)是奇数；当?,?不同时，M(?,?)是偶数．求集合B中元素个数的最大
值；
(3)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素
?,?，M(?,?)?0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
30．(2018江苏)设n?N*，对1，2，···，n的一个排列i1i2Lin，如果当s?t时，有is?it，
则称(is,it)是排列i1i2Lin的一个逆序，排列i1i2Lin的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记fn(k)为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． (1)求f3(2),f4(2)的值；
(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示)．
31．（2017江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足
an?k?an?k?1?????an?1?an?1?????an?k?1?an?k?2kan
对任意正整数n(n?k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． 32．（2017北京）设{an}和{bn}是两个等差数列，记
cn?max{b1?a1n,b2?a2n,???,bn?ann}(n?1,2,3,???)，
其中max{x1,x2,???,xs}表示x1,x2,???,xs这s个数中最大的数．
（Ⅰ）若an?n，bn?2n?1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，
正整数m，使得cm,cm?1,cm?2,???是等差数列．
33．(2016江苏)记U??1,2,L,100?．对数列?an?（n?N*）和U的子集T，若T??，定义
ST?0；若T??t1,t2,L,tk?，定义ST?at1?at2?L?atk．例如：T??1,3,66?时，
cn?M；或者存在n现设?an?（n?N*）是公比为3的等比数列，且当T??2,4?时， ST?a1?a3?a66．ST?30．(1)求数列?an?的通项公式；
(2)对任意正整数k（1≤k≤100），若T??1,2,L,k?，求证：ST?ak?1； (3)设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC?SCID≥2SD． 34．(2016浙江)设函数f(x)=x3?(1)f(x)≥1?x?x； (2)
21，x?[0,1]．证明： 1?x33?f(x)≤． 42135．(2015湖北)已知数列{an}的各项均为正数，bn?n(1?)nan(n?N?)，e为自然对数的
n底数．
1(1)求函数f(x)?1?x?ex的单调区间，并比较(1?)n与e的大小；
n(2)计算
bbbbbLbnb1bb，12，123，由此推测计算12的公式，并给出证明；
a1a2a3a1a2Lana1a1a21n(3)令cn?(a1a2Lan)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn, 证明：Tn?eSn．
*36．(2015江苏)已知集合X?{1,2,3},Yn?{1,2,3,.....,n}(n?N)，设Sn?{(a,b)|a整除
b或b除a,a?X,b?Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
37．(2014天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,L,q-1}，
集合A={xx=x1+x2q+L+xnqn-1,xi?M,i(1)当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
n-1n-1(2)设s,t?A，s=a1+a2q+L+anq，t=b1+b2q+L+bnq，其中ai，
1,2,L,n}.
bi?M，i?1,2,???,n．证明：若an?bn，则s?t．
38．(2013江苏)设?an?是首项为a，公差为d的等差数列?d?0?，Sn是其前n项和. 记
bn?nSn，n?N*，其中c为实数. 2n?c(1)若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk?k,n?N*?； (2)若?bn?是等差数列，证明：c?0．
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