⑵ 已知：如图一次函数y＝bx＋c的图象与一次函数y＝
11x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x 2＋221x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，20）
（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
y C 2
B
A O D E
例5 考点：讨论四边形
已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax 2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
y C x A O B x
6
综合练习：
21、平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?4ax?4a?c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴
交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A?，若QA?QB?2，求点Q的坐 标和此时△QAA?的面积。
3?，与x2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax+2ax?c的图像与y轴交于点C?0 ，2 0?。 轴交于A、B两点，点B的坐标为??3 ，（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 ：2的
两部分，求出此时点M的坐标；
（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积
是多少？并求出此时点P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?且对称轴与x轴交于点C。
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得?AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
22x?2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，m
4、已知关于x的方程(1?m)x?(4?m)x?3?0。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
2
7
（2） 若正整数m满足8?2m?2，设二次函数y?(1?m)x?(4?m)x?3的图象与x轴交于
2A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一
个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y?kx?3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。
5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标； （3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1．已知二次函数y＝x ＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且
2
x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若
不存在，请说明理由；
11 MD （4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直
2 DN 3 线的表达式．
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2 已知二次函数y= x +mx+m-5，
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点； （2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
2
8
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1． 已知抛物线y?x?2(m?1)x?m?0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________
2
例2．已知二次函数y＝x －2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
2
（2）以抛物线y＝x －2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正?AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； y 2
（3）若抛物线y＝x －2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数， 求整数．．m的值．
题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 22O A x 例1．已知抛物线y?x2?bx?c（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2. (1)求m,b的值
(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例1．已知：二次函数y?x?4x?m的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜
2x2），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A1、
B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 3，图象的对称轴为x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．
9
2．已知二次函数y＝－x ＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ 5，求m的值； （2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．
3. 已知关于x的一元二次方程x －2(k＋1)x＋k ＝0有两个整数根，k＜5且k为整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x －2(k＋1)x＋k 的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m． （1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围； （3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2 2，求m的值．
四、中考二次函数定值问题
1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
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