新高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算试题理北师大

∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x， ∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x， ∴fn(x)是以4为周期的函数，

∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D. 答案 D

12.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A.4

B.－

C.2

D.－2

1解析 f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，

∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4， ∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4. 答案 A

13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.

解析 y＝ln x＋2的切线为：y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1).

y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2).

??∴?

x2??ln x1＋1＝ln（x2＋1）－x2＋1，解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 2

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11＝，x1x2＋114.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；

(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

b12a－＝，??22当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是?

b7??a＋4＝4，解得故f(x)＝x－.

(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝)))(x－x0)，即y－＝)))(x－x0).令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为

S＝|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角

形面积为定值，且此定值为6.

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