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。
2n3、若1为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件
是 。
4、形如 的方程称为欧拉方程。
x(t),x(t),?,x(t)5、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系： 。
6、若向量函数g(t;y)在域R上 ，则方程组
dy?g(t;y),?(t0;t0,y0)?y0dt的解?存在且惟一。
7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。
二、 求下列方程的解 1、
(y?3x2)dx?(4y?x)dy?0 （6分）
22222、 ydx?xdy?(x?y)dx （8分） 3、 y(y'?1)?(2?y') （8分）
dyy??exy4、 dxx （8分）
5、 x''?6x'?5x?e （6分）
2tx''?x?6、
1sin3t （8分）
7、
三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）
x''?12x' （8分）
dydx?2x?7y?19,?x?2y?5dtdt
常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.
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xy=
'x2?y2+y
tgydx-ctydy=0
2 {y-x(x+y)}dx-xdy=0
2 2xylnydx+{x+y221?y2}dy=0
dyy2ydxx5. =6-x
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y?22)'yx?y?16. =2
(
7. 已知f(x)
?x0f(t)dt=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。
8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）
的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为
k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
二． 证明题(10%*2=20%)
1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。
12． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN?0,则(xM?yN)是该方程的一个积分因子。
My(xM?yN)?M(xMy?N?yNy)(xM?yN)2?Nx(xM?yN)?N(xMx?M?yNx)(xM?yN)2常
常微分方程期终试卷(9)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
dy?ysinx?ex1．方程dx的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程y???4y?0的基本解组是 ．
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的________________条件是在
区间I上它们的朗斯基行列式W(x)?0．
3．向量函数组
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们
的朗斯基行列式W(x)?0，x?I．
6．向量函数组
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
dy?3y?e2x7. dx
3223(x?xy)dx?(xy?y)dy?0 8.
y?e?y??x?0 9．
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10．求方程y???5y??sin5x的通解． 11．求下列方程组的通解．
?dx?x?y??dt??dy?4x?y? ?dt
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．
13．设?(x)在区间(??,??)上连续．试证明方程
dy??(x)siny dx 的所有解的存在区间必为(??,??)．
常
常微分方程期终试卷(10)
一、填空（30分）
dyydy?g()?P(x)y2?Q(x)y?R(x)x称为齐次方程，dx1、dx称为黎卡提方程。
dy?f(x,y)f(x,y)ydx2、如果在R上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的
x?x0?h?(x0)?y0，其中
解y??(x)，定义于区间上，连续且满足初始条件
h?mina(,3、若
b)M?maxf(x,y)(x,y)?RM，。
xi(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)'w满足一阶线性方程(t)?a1(t)w(t)?0。
MLk?1?k(x)??k?1(x)?(x?x0)kk!4、对逼卡逼近序列，。
'x?(t)?(t)5、若和都是?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系?(t)??(t)C。
?M?N??y?x??(x)M(x,y)dx?N(x,y)dy?0xN6、方程有只含的积分因子的充要条件是。
?M?N??y?x??(y)y?M有只含的积分因子的充要条件是。 dyy2?1?2经过(0,0)点的解在存在区间是(??,??)。 7、方程dx二、 计算（60分） 更多精品文档
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1、 求解方程xdy?(y?xy)dx?0。 解：所给微分方程可写成
24(xdy?ydx)?xydx?0
24即有 d(xy)?xydx?0
24d(xy)1?2dx?044(xy)x上式两边同除以(xy)，得
11??c13x3(xy)由此可得方程的通解为
23331?3xy?cxy (c??3c1) 即
?23y?p?2p2、 求解方程
解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有
p?(2p?6p2)（1） 当p?0时，由所给微分方程得y?0； 因此，所给微分方程的通解为
dpdx
2x?2p?3p?c。 dx?(2?6p)dp（2） 当时，得
223x?2p?3p?cy?p?2p ， （p为参数）
而y?0是奇解。
'''t2t3、 求解方程x?4x?4x?e?e?1 2??2解：特征方程??4??4?0，1,2，
故有基本解组e，te，
'''t对于方程x?4x?4x?e，因为??1不是特征根，故有形如x1(t)?Ae的特解，
2t2tt12t'''2t2， 将其代入x?4x?4x?e，得2Ae?e，解之得
'''x(t)?A的特解，
对于方程x?4x?4x?1，因为??0不是特征根，故有形如31A?'''4，所以原方程的通解为 将其代入x?4x?4x?1，得
11x(t)?e2t(c1?c2t)?et?t2e2t?24
'4、 试求方程组x?Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中
2tA???21?A????12????
解：p(?)?det(?E?A)?0，?1?3，?2??3，均为单根，
????v1????(2?3)?v?(?E?A)v?0??,??0 1111设对应的特征向量为，则由，得
?1??1????v1??v?2?2?3???2?3??，同理可得?1对应的特征向量为??， 取
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