多维层次练27
[A级 基础巩固]
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° C．北偏东10°
B．北偏西15° D．北偏西10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，
所以∠CBA＝45°，而β＝30°， 所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A在点B的北偏西15°. 答案：B
2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )
A．①② C．①③
B．②③ D．①②③
解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
答案：D
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．102 海里 C．203 海里
B．103 海里 D．202 海里
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，BCAB∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
sin 30°sin 45°
解得BC＝102(海里)． 答案：A
4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° C．60°
B．45° D．75°
解析：依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m， 又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得 AC2＋AD2－CD2
cos ∠CAD＝＝
2AC·AD
（305）2＋（2010）2－5026 0002
＝＝，
2×305×20106 00022又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案：B
5．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40 m．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A．210(6＋2) m C．2102 m
B．1406 m D．20(6－2) m
解析：由题意，设AC＝x m，则BC＝(x－40) m，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°， ∠CHA＝90°－30°＝60°，
CHAC由正弦定理，＝，
sin ∠CAHsin ∠AHCsin ∠CAH
可得CH＝AC·＝1406(m)．
sin ∠AHC答案：B
6．在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，→·→＝20，b＝7，则△ABC的内切圆的半径为( ) c，若BABC
A.3 C．2
73
B.
3D．3
解析：因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C， π
又A＋B＋C＝π，所以B＝.
3
→·→＝accos B＝20，所以ac＝40. 因为BABC1
所以S△ABC＝acsin B＝103.
2
（a＋c）2－2ac－b2（a＋c）2－80－49
由余弦定理得cos B＝＝＝
2ac801
， 2
所以a＋c＝13，设△ABC的内切圆的半径为r，
1
则S△ABC＝(a＋b＋c)r＝10r，所以103＝10r，解得r＝3.
2答案：A
7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两艘船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两艘船与炮台底部连线成30°角，则两艘船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图所示，
OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝
3
×30＝103(m)， 3
在△MON中，由余弦定理得 MN＝
900＋300－2×30×103×
3
＝300＝103 (m)． 2
答案：103
8．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船行驶的速度是每小时________海里．
解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
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