在Rt△ABC中，得AB＝5，
5
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．
0.5答案：10
9．(2020·福州模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边22上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝32，AD＝3，则BD的长为
3________．
22
解析：因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，
3
?π?22??＝＋∠BAD所以sin2，
3??
22
所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，
3得BD＝
AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝
22
＝3. 3
（32）2＋32－2×32×3×
答案：3
10．如图所示，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)
解：如图，作CD垂直于直线AB于点D，
因为∠A＝15°，∠DBC＝45°， 所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得， BCAB
＝， sin Asin ∠ACBAB＝50×420＝21 000.
21 000
所以BC＝×sin 15°＝10 500(6－2)．
12
2
因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin ∠DBC＝10 500×(6－2)×
2＝10 500×(3－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度为h＝10 000－7 350＝2 650 m.
[B级 能力提升]
11．(2020·广州模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，bb
b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为( )
ca
?1?
A.?2，＋∞? ?
?
?1?C.?2，1? ??
?1?
B.?2，＋∞? ?
?
?1?D.?2，1? ??
bb解析：因为cos C＋cos A＝1，
ca
222222ba＋b－cbb＋c－a
所以由余弦定理可得·＋·＝1，化简可得b2
ca2ab2bc
＝ac，
a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1
则cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c
2ac2ac2ac2时，取“＝”．
1
所以≤cos B<1.
2答案：D
12．如图所示，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.
解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×
2
，令OB2≤4502，即2
302－15302＋15
4t－1202t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将
22
2
302＋15302－15
受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．
22
答案：15
π
13.如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，
3BD＝7，AB⊥BC.
(1)求sin ∠ABD的值； 2π
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
3
解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k. π
又BD＝7，∠DAB＝，
3在△ABD中，由余弦定理得
π
(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，
3解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3， 3
ADsin ∠DAB2×221
sin ∠ABD＝＝＝.
BD77(2)因为AB⊥BC，所以cos ∠DBC＝sin ∠ABD＝27
所以sin ∠DBC＝，
7BDCD
所以＝，
sin ∠BCDsin ∠DBC
21， 7
277×BDsin ∠DBC743
所以CD＝＝＝.
33sin ∠BCD
2
[C级 素养升华]
14.如图所示，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1
和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.
解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α， 则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.
因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，所AA130
以△A1AC∽△CBB1，所以＝，
30BB1
所以AA1·BB1＝900，所以3 600tan αtan 2α＝900， 13
所以tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.
341
答案： 45
3
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