假设ak为奇数时， ak?m；ak为偶数时，ak?2m． 当ak为奇数时，ak?1?ak?m?2m，且ak?1为偶数； 当ak为偶数时，ak?1?ak?m． 2所以若ak?1为奇数，则ak?1?m；若ak?1为偶数，则ak?1?2m． 因此对?n?N*都有an?2m．
所以正整数数列?an?中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合A?{?r,s?|ar?as,r?s}，设集合B?{r?N|?r,s??A}?N．
**因为A??，所以B??．
令r1是B中的最小元素，下面证r1?1． 设r1?1且ar1?as1(r1?s1)．
当ar1?m时，ar1?1?2ar1，as1?1?2as1，所以ar1?1?as1?1； 当ar1?m时，ar1?1?ar1?m，as1?1?as1?m，所以ar1?1?as1?1． 所以若r1?1，则r1?1?B且r1?1?r1，与r1是B中的最小元素矛盾．
*所以r1?1，且存在1?s1?N满足as1?a1?1，即存在n?1满足an?1．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．
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