二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．
7．(2011·泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．
y→→
0，?，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为8．平面上有三点A(－2，y)，B??2?__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．
10．(12分)(2009·宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
|OP|
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M
|OM|
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
11．(14分)(2011·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，
3
3)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在
2
→→→
点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM＝OA＋OB.求：
(1)点M的轨迹方程；
→
(2)|OM|的最小值．
学案55 曲线与方程
自主梳理
1．(1)曲线上的点的坐标 解 (2)曲线上的点 3.(1)曲线上任意一点M的坐标
(2){M|p(M)} (4)最简形式 (5)曲线上
自我检测
1．C 2.A 3.C 4.A 5．B [
C1：(x－1)＋y＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线
3
相切时，m＝±，
3
即直线处于两切线之间时满足题意，
33则－ 33 综上知－ 33 课堂活动区 例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断； ②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点； x2y2 ③一般地，方程＋＝1所表示的曲线有以下几种情况： AB 1° A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆； 2° A＝B>0，表示圆； 3° 0 yy 解 设点P(x，y)，则kAP＝，kBP＝. x－ax＋a yy 由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2. x－ax＋a ∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2 (x≠±a)．(*) (1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)． x2y2 (2)当k≠0时，(*)式即2－2＝1， aka ①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)． x2y2 ②若k<0，(*)式可化为2＋＝1. a?－ka2? 1° 当－1 3° 当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)． 变式迁移1 y2＝－8x →→→ 解析 由题意：MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)， →→→→∵|MN||MP|＋MN·NP＝0， 22 ∴42＋02·?x＋2?2＋y2＋(x－2)·4＋y·0＝0， 2 移项两边平方，化简得y＝－8x. 例2 解题导引 (1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化； (2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． 解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4， 得O1(－2,0)、O2(2,0)． 设动圆M的半径为r，则 由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3<4. 3 ∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2 2 7 ＝c2－a2＝. 4 4x24y2 ∴点M的轨迹方程为－＝1 (x<0)． 97 1 变式迁移2 D [∵sin C－sin B＝sin A，由正弦定理得到 2 11 |AB|－|AC|＝|BC|＝a(定值)． 22 a ∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为，焦距为|BC|＝a. 4 a?2?a?2316x216y2?∴虚半轴长为 ?2?－?4?＝4a，由双曲线标准方程得为a2－3a2＝1 (y≠0)的右 支．] 例3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程． 解 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)． ∵N在直线x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2.① 又∵PQ垂直于直线x＋y＝2， y－y1∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.② x－x1 ? 联立①②解得?13 y＝?2x＋2y－1. 1 31 x1＝x＋y－1， 22 又点Q在双曲线x2－y2＝1上， 2∴x1－y21＝1.④ ③代入④，得动点P的轨迹方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. ③ 变式迁移3 解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)， 2→→→→ AP＝PB，又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)， 2 22 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y) 222 得x0＝?1＋?x，y0＝(1＋2)y. 2?? 22 因为|AB|＝1＋2，即x0＋y20＝(1＋2)， 2 所以??1＋?x?2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2， 2????2xx222 化简得＋y＝1.∴点P的轨迹方程为＋y＝1. 22 课后练习区 1．B [ x2y2 如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为2＋2＝1，其中a>b>0)． ab 连接MO，由三角形的中位线可得 |F1M|＋|MO|＝a (a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．] 2．B [A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2<|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．] 3．C [设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① →→ 又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， a＝3x，??即?3② b＝y，??2 22y代入①式整理可得x＋＝1.] 4 4．B [ 设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上， 所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)， 于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|. 过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线， 故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN| ＝2|OR|＝8>4＝|AB|. 根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．] 5．D [因为|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2， 所以轨迹为一条射线．] 6．4π 解析 设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方
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