青岛市高三统一质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 4028 12. 132 13.?24 14．(?4,2) 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）Q
a?ba?ca?ba?c ? …………………………2分 ??sin(A?B)sinA?sinBca?b2a2?c2?b2ac1?? ………………………………5分 ?a?b?ac?c?cosB?2ac2ac2
22QB?(0,?)，?B??3 ………………………………………………………6分
（Ⅱ）由b?3，sin A?3ab，，得a?2 ……………………………7分 ?3sinAsinB6， …………………………………………9分 3由a?b得A?B，从而cos A?故sin C?sin(A?B)?sin Acos B?cos Asin B?3?32 …………………10分 6所以?ABC的面积为S? 17．（本小题满分12分）
[来源:]
13?32absin C?. ……………………………12分 22解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为C20，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为
3111111111111C4?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C6 ……………………4分
111111111111C4?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C68所以P? …………………6分 ?3C2019（Ⅱ）?可能的取值为0,1,2,3
321C16C16C5?7?16288?15?48P(??0)?3??,P(??1)?34??,
C203?20?1957C203?20?1919123C16C4C416?6841…………10分 P(??2)?3??,P(??3)?3??C203?20?1995C203?20?19285所以?的分布列为
? [来源:]0 28 571 8 192 8 953 1 285
P
所以E(?)?2888157……………………………………12分 ?0??1??2??3?5719952859518．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G， 因为ABCD?A1B1C1D1为四棱柱， 所以四边形ADD1A1为平行四边形， 所以G为A1D的中点，
B1 E1 zA1 C1 D1 G A1B1中点，所以E1G为?A1B1D的中位线， 又E1为 B BD//EG从而1 ……………………………………4分 x1又因为B1D?平面AD1E1，E1G?平面AD1E1，
所以B1D//平面AD1E1． …………………………5分
A H C D y（Ⅱ）因为AA1?底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
所以AA1?AB,AA1?AD,又?BAD?900，所以AB,AD,AA1两两垂直. ……………6分
如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设AB?t，则A?0,0,0?，B?t,0,0?，C?t,1,0?，D?0,3,0?，C1?t,1,3?，D1?0,3,3?.
uuuruuur从而AC?(t,1,0)，BD?(?t,3,0).
uuuruuur2因为AC?BD，所以AC?BD??t?3?0?0，解得t?3. ……………………8分
uuuruuuur所以AD1?(0,3,3)，AC?(3,1,0).
uuurur?ur?AC?n1?0,??3x1?y1?0设n1?(x1,y1,z1)是平面ACD1的一个法向量，则?uuuu即? rur??3y1?3z1?0?AD1?n1?0.?ur令x1?1，则n1?(1,?3,3). …………………………………………………………9分
uuuruuuur又CC1?(0,0,3)，CD?(?3,2,0).
uuuuruur?uurz2?0?CC1?n2?0,??设n2?(x2,y2,z2)是平面CDD1C1的一个法向量，则?uuu即? ruur???3x2?2y2?0?CD?n2?0.?uur3,0). ………………………………………………………10分 令x2?1，则n2?(1,2uruur3|1?1??(?3)?3?0|n?nuruur1212? ?cos?n1,n2??uruur?73n1?n21?3?3?1??04?平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值
19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d， 则a10?a1?9d?19,S10?10a1?1. ……………………………12分 710?9?d?100 2解得a1?1,d?2，所以an?2n?1 ………………………………………………………3分 所以b1?b2?b3Lbn?1?bn?2n?1 …… ① 当n?1时,b1?3
当n?2时,b1?b2?b3Lbn?1?2n?1……②
①②两式相除得bn?2n?1(n?2) 2n?1因为当n?1时,b1?3适合上式，所以bn?（Ⅱ）由已知cn?(?1)得cn?(?1)nn2n?1(n?N?)………………………………6分 2n?14n?bn， 2(2n?1)4n11?(?1)n(?)
(2n?1)(2n?1)2n?12n?1则Tn?c1?c2?c3?L?cn
1111111??(1?)?(?)?(?)?L?(?1)n(?) ………………………7分
335572n?12n?1当n为偶数时，
1111111Tn??(1?)?(?)?(?)?L?(?1)n(?)
335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)?L?(?)
335572n?12n?1??1?12n ………………………………………………………………9分 ??2n?12n?1当n为奇数时，
1111111Tn??(1?)?(?)?(?)?L?(?1)n(?)
335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)?L?(??)
335572n?12n?1??1?12n?2 ……………………………………………………………11分 ??2n?12n?1?2n?,n为偶数??2n?1综上：Tn??… ………………………………………………………12分
2n?2??,n为奇数?2n?1?20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切 所以圆x?y?22m22222的圆心到直线l的距离d?，从而m?(1?k)…2分 ?3331?k2?x2??y2?1222由?2 可得：(1?2k)x?4kmx?2m?2?0 ?y?kx?m?设E(x1,y1)，F(x2,y2)
2m2?24km则x1?x2??，x1x2? …………………………………………………4分
1?2k21?2k2uuuruuur所以OE?OF?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)
2m2?2?4k2m22?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?(1?k)??m1?2k21?2k2 22223m?2k?22(1?k)?2k?2???01?2k21?2k2222所以OE?OF ………………………………………………………………………………6分
x12x222（Ⅱ）Q直线l与圆O相切于W，?y1?1,?y22?1,
22EW????FWOE?r2OF?r222?2x?y?3?222x2?y2?32121x121?23 ………………………………8分 2x21?23由（Ⅰ）知x1x2?y1y2?0，
22?y12y2?x1x2??y1y2，即x12x2
2x12x24?2x122从而xx?(1?)(1?)，即x2? 2222?3x12212???x121?223?2?3x1 ……………………………………………………………12分 24x21?23因为?2?x1?2，所以??[,2] ………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）Q原函数定义域为(?1,??)，g?(x)?ln(x?1)?1，则
12g(0)?0，g?(0)?1，?l:y?x ………………………………………………………2分 12??y?x?kx?1?x2?2(k?1)x?2?0 2由??y?x?Ql与函数f(x)的图象相切，
???4(k?1)2?8?0?k?1?2………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题h(x)?令?(x)?x?k? 因为??(x)?1?121x?kx?1?ln(x?1)?1,h?(x)?x?k? 2x?11, x?11x(x?2)??0对x?[0,2]恒成立，
(x?1)2(x?1)2 所以?(x)?x?k?1，即h?(x)在[0,2]上为增函数 ………………………………6分 x?17 3 ?h?(x)max?h?(2)?k?Qh(x)在[0,2]上单调递减
?h?(x)?0对x?[0,2]恒成立，即h?(x)max?k?7?0 3
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