2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。 1．
1?2i?（ ） 1?2i
43A．??i
55
2．已知集合A?A．9
43B．??i
55
34C．??i
55
34D．??i
55??x，y?x
2?y2≤3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为（ ）
B．8
C．5
D．4
?ex?e?x3．函数f?x??的图象大致是（ ）
x2
4．已知向量a，b满足，a?1，a?b??1，则a??2a?b??（ ） A．4
B．3
C．2
D．0
x2y25．双曲线2?2?1?a＞0，b＞0?的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
abA．y??2x 6．在△ABC中，cos B．y??3x C．y??2x 2 D．y??3x 2C5，BC?1，AC?5，则AB=（ ） ?25A．42
B．30 C．29 D．25 7．为计算S?1?11111，设计了右侧的程序框图， ????????23499100 则在空白框中应填入（ ） A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A．
9．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
1 12 B．
1 14 C．
1 15 D．
1 181A．
5
B．5 6 C．5 5 D．2 210．若f?x??cosx?sinx在??a，a?是减函数，则a的最大值是（ ）
A．
11．已知f?x?是定义域为???，???的奇函数，满足f?1?x??f?1?x?．若f?1??2，则
f?1??f?2??f?3??????f?50??（ ）
x 2 B．
x 2 C．
3x 4 D．x
A．?50
B．0 C．2 D．50
x2y212．已知F1，F2是椭圆C:2?2?1?a＞b＞0?的左、右焦点交点，A是C的左顶点，点Pab在过A且斜率为为（ ） A．
3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率62 3 B．
1 2
1C．
3 D．
1 4二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y?2ln?x?1?在点?0，0?处的切线方程为__________．
?x?2y?5≥0?14．若x，y满足约束条件?x?2y?3≥0，则z?x?y的最大值为_________．
?x?5≤0?
15．已知sin??cos??1，cos??sin??0，则sin??????__________．
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7，SA与圆锥底面所成角为845?．若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为_________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必答题：60分。 17．（12分）
记Sn为等差数列?an?的前n项和，已知a1??7，S1??15． （1）求?an?的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t的值依次为1，2，???，7）建立模型①：$y??30.4?13.5t：根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，???，7）建
y?99?17.5t． 立模型②：$（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线C:y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k?k＞0?的直线l与C交于A，B两点。AB?8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点． （1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
21．（12）
已知函数f?x??ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x≥0时，f?x?≥1； （2）若f?x?在?0，???只有一个零点，求a．
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