2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷

2017年上海市浦东新区高考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共12小题，满分54分） 1．（4分）不等式

≥2的解集是： [0，1） ．

【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可． 【解答】解：由即

≤0，

≥2得

﹣2＝

＝

≥0，

即0≤x＜1，

故不等式的解集为[0，1）， 故答案为：[0，1）

【点评】本题主要考查分式不等式的求解，根据分式不等式的性质进行转化是解决本题的关键．

2．（4分）（1﹣2x）的二项展开式中各项系数的绝对值之和为 243 ． 【分析】令x＝﹣1代入即可得出．

【解答】解：令x＝﹣1，可得：（1﹣2x）的二项展开式中各项系数的绝对值之和为＝3＝243． 故答案为：243．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（4分）函数f（x）＝（x﹣1），（x≤0）的反函数是 f（x）＝﹣【分析】由函数f（x）＝（x﹣1），（x≤0），求出x＝﹣+1．（x≥1），由此能求出结果．

【解答】解：∵函数f（x）＝（x﹣1），（x≤0）， ∴x﹣1＝﹣

，∴x＝﹣

+1， +1．（x≥1），

2

22

﹣1

5

55

+1，（x≥1） ．

+1，互换x，y，得：y＝﹣

互换x，y，得：y＝﹣∴f（x）＝﹣

﹣1

﹣1

+1，（x≥1）．

+1，（x≥1）．

故答案为：f（x）＝﹣

【点评】本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．

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4．（4分）已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，其前n项和为Sn，则

Sn＝

．

+

+…+

＝

﹣

，进而取

【分析】通过等比数列的求和公式可知当n≥3时极限可得结论． 【解答】解：由题可知

Sn＝

（1++

+

+…+）

＝（1++）

＝＝＝，

（1++（﹣

﹣）

）

故答案为：．

【点评】本题考查考查数列的通项及前n项和，考查等比数列的求和公式，涉及极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

5．（4分）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为 2 ．

【分析】由已知三棱柱的特征得到侧视图形状，然后计算面积．

【解答】解：由三视图得到三棱柱的侧视图为一底面高为一边棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为

；

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故答案为：2．

【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．

6．（4分）若复数z满足|z|＝1，则|（+i）（z﹣i）|的最大值是 4 ． 【分析】复数z满足|z|＝1，可得

＝1．令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．可得（+i）（z

﹣i）＝1+（z﹣）i+1＝2﹣2sinθ．再利用模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵复数z满足|z|＝1，∴令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．

则（+i）（z﹣i）＝1+（z﹣）i+1＝2﹣2sinθ．

∴|（+i）（z﹣i）|＝|2﹣2sinθ|≤4，当且仅当sinθ＝﹣1时取等号． ∴|（+i）（z﹣i）|的最大值是4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

＝1．

7．（5分）已知O为坐标原点，点A（5，﹣4），点M（x，y）为平面区域内的一

个动点，则?的取值范围是 [﹣8，1） ．

【分析】画出满足条件的平面区域，将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，从而求出取值范围．

【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；

将平面区域的三个顶点坐标分别代入计算平面向量数量， 可得B（1，2），C（1，1），D（0，2）； ∴当x＝1，y＝1时，

?

＝5×1+（﹣4）×1＝1，

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当x＝1，y＝2时，当x＝0，y＝2时，∴

??

＝5×1+（﹣4）×2＝﹣3， ＝5×0+（﹣4）×2＝﹣8；

的取值范围是[﹣8，1）．

故答案为：[﹣8，1）．

【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是中档题．

8．（5分）现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是

．

，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的

1

【分析】先求出基本事件总数n＝

基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C6

1

种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C4种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A4种．根据分步计数原理有C6C4A4种．由此能求出最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率．

【解答】解：现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，

直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，

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4

1

1

4