（2）由题意得＝20，即c＝40．∴直线l的方程为x+设|OA|＝t，则A（
t，t）（t＞0），
y﹣40＝0．
设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|＝2|AP|， ∴
＝2
t）+（y﹣t）＝
2
2
， ， t，
）为圆心，以
．
为半径的圆．
整理得：（x﹣
∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（
若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥
∴解得：t≤
＝15（
≥t， ﹣1），
﹣1）海里．
∴O，A之间的最远距离是15（
【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（16分）数列{an}的前n项a1，a2，…，an（n∈N*）组成集合An＝{a1，a2，…，an}，从集合An中任取k（k＝1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n﹣1}，当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1；n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1+3，T2＝1?3；
（1）若集合An＝{1，3，5，…，2n﹣1}，求当n＝3时，T1，T2，T3的值；
（2）若集合An＝{1，3，7，…，2﹣1}，证明：n＝k时集合Ak的Tm与n＝k+1时集合Ak+1的Tm（为了以示区别，用Tm′表示）有关系式Tm′＝（2k∈N*，2≤m≤k；
（3）对于（2）中集合An．定义Sn＝T1+T2+…+Tn，求Sn（用n表示）． 【分析】（1）当n＝3时，A3＝{1，3，5}，由定义可得：T1，T2，T3的值．
（2）当n＝k+1时，集合Ak+1有k+1个元素，比n＝k时的集合Ak多了一个元素：ak+1＝2
k+1
k+1
n
﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，
﹣1．对应的包含两个部分：（i）若
中不含ak+1，则
中的任何一项恰好
为n＝k时集合Ak的对应的Tm中的一项．（ii）若中含ak+1的任何一项，除了ak+1，
其余的m﹣1个数均来自集合Ak，这m﹣1个数的乘积恰好为集合Ak所对应的Tm﹣1中的一项．即可证明．
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（3）由S1＝1＝2﹣1＝1，S2＝7＝2﹣1，S3＝63＝2﹣1，猜想 Sn＝面利用数学归纳法证明即可．
【解答】（1）解：当n＝3时，A3＝{1，3，5}，
T1＝1+3+5＝9，T2＝1×3+1×5+3×5＝23，T3＝1×3×5＝15．
136
﹣1．下
（2）证明：当n＝k+1时，集合Ak+1有k+1个元素，比n＝k时的集合Ak多了一个元素：ak+1＝2
k+1
﹣1．∴对应的包含两个部分：（i）若
中不含ak+1，则
中的任何一
项恰好为n＝k时集合Ak的对应的Tm中的一项． （ii）若
中含ak+1的任何一项，除了ak+1，其余的m﹣1个数均来自集合Ak，这m﹣1
个数的乘积恰好为集合Ak所对应的Tm﹣1中的一项． ∴有关系式Tm′＝（2
k+1
﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k．
3
6
（3）解：由S1＝1＝2﹣1＝1，S2＝7＝2﹣1，S3＝63＝2﹣1， 猜想 Sn＝
﹣1．下面证明：
1
（i）易知n＝1时成立． （ii）假设n＝k时，Sn＝Sk＝
﹣1，
则n＝k+1时，Sk+1＝T1+T2+T3+…+Tk+1 ＝[T1′+（2﹣1）]
（其中Ti′，i＝1，2，…，k，为n＝k时可能的k个数的乘积的和为Tk）， ＝（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2＝Sk+（2＝
k+1
k+1
k+1
﹣1）]+[T2′+（2
k+1
﹣1）T1′]+[T3′+（2
k+1
﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2
k+1
﹣1）+（2
k+1
﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′） +（2
k+1
﹣1）+（2
﹣1，
k+1
﹣1）Sk＝
﹣1）
即n＝k+1时，Sk+1═
综合（i）（ii）知对n∈N，Sn＝∴Sn＝
﹣1．
*
﹣1也成立，
﹣1成立．
【点评】本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第18页（共20页）
21．（18分）已知f（x）是定义在[m，n]上的函数，记F（x）＝f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，满足|F（x1）|＝M（a，b），F（x2）＝﹣F（x1）．F（x3）＝F（x1），则称一次函数y＝ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a，b）称为f（x）在[m，n]上的“逼近确界”．
（1）验证：y＝4x﹣1是g（x）＝2x，x∈[0，2]的“逼近函数”； （2）已知f（x）＝
，x∈[0，4]，F（0）＝F（4）＝﹣M（a，b）．若y＝ax+b是f（x）
2
的“逼近函数”，求a，b的值； （3）已知f（x）＝≥．
【分析】（1）记G（x）＝2x﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）﹣1，x∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G（x）|的最大值为1，且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1． （2）F（x）＝
﹣（ax+b），由
，可得M（a，b）＝b，a＝．存
2
2
，x∈[0，4]的逼近确界为，求证：对任意常数a，b，M（a，b）
在x0∈（0，4）满足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b，即可得出． （3）M（a，b）＝
＝
|t﹣at﹣b|＝
2
．即可得出．
【解答】解：（1）记G（x）＝2x﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）﹣1，x∈[0，2]．则|G（x）|的最大值为1，
且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1．故y＝4x﹣1是g（x）＝2x，x∈[0，2]的“逼近函数”． （2）F（x）＝
﹣（ax+b），由
，可得M（a，b）＝b，a＝．
2
22
存在x0∈（0，4）满足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b， 即F（x）＝
﹣x﹣b＝﹣
+﹣b，故x2＝1．
由F（1）＝﹣b＝b，可得b＝． （3）证明：M（a，b）＝
＝
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|t﹣at﹣b
2
|＝．
当?[0，2]时，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）≥．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、换元方法、绝对值的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第20页（共20页）
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