微积分公式

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有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）

?a0?b0????0?????n?mn?m （系数不为0的情况） n?m一、lima0x?a1xb0x?b1xmnn?1m?1???an???bmx??二、重要公式（1）lim（4）limn??nsinxxx?0?1 （2）lim?1?x?x?e （3）limx?01nn??a(a?o)?1

n?1 （5）limarctanx?x???2 （6）limarctanx??x????2

（7）limarccotx?0 （8）limarccotx?? （9）lime?0

x??x???xx???（10）lime?? （11）lim?x?1

x???x?0xx

三、下列常用等价无穷小关系（x?0）

sinx?x tanx?x arcsixn?x arctanx?x 1?coxs?12x

2

?ln?1?x??x ex?1?x ax?1?xlna ?1?x??1??x

四、导数的四则运算法则

??v?u?v???u??v? ?uv???u?u?v?u?v?u??u v ??? 2vv??

五、基本导数公式

???1⑴?c???0 ⑵x??x ⑶?sinx???cosx

⑷?cosx????sinx ⑸?tanx???secx ⑹?cotx????cscx

22⑺?secx???secx?tanx ⑻?cscx????cscx?cotx ⑼?ex???ex ⑽?ax???axlna ⑾?lnx???1x

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⑿?logax???1xlna1 ⒀?arcsinx???11?x11?x22 ⒁?arccosx????11?x2 ⒂?arctanx???1?x2 ⒃?arccotx????⒄?x???1⒅

??x?n???12x

六、高阶导数的运算法则 （1）??u?x??v?x???（3）??u?ax?b???

七、基本初等函数的n阶导数公式 （1）?xn??n??n??u?x?n?n??v?x??n? （2）??cu?x????n??cun?n??x?

?n??au?n??ax?b? （4）??u?x??v?x?????ck?0knu?n?k??x?v(k)?x?

?n! （2）?e?n?ax?b??n??a?enax?b (3)?ax??n??alna

xn(4)??sin?ax?b??????n?asin?ax?b?n??

2??(5) ??cos?ax?b????1?(6)???ax?b??n??n????n?acos?ax?b?n??

2??n???1?a?n!n?ax?b?n?1 (7) ??ln?ax?b????n????1?n?1a??n?1?!n?ax?b?n

八、微分公式与微分运算法则

⑴d?c??0 ⑵d?x????x??1dx ⑶d?sinx??cosxdx ⑷d?cosx???sinxdx ⑸d?tanx??secxdx ⑹d?cotx???cscxdx

22⑺d?secx??secx?tanxdx ⑻d?cscx???cscx?cotxdx ⑼d?ex??exdx ⑽d?ax??axlnadx ⑾d?lnx??⑿d?logax1xdx

??1xlna1dx ⒀d?arcsinx??11?x2dx ⒁d?arccosx???11?x211?x2dx

⒂d?arctanx??1?x2dx ⒃d?arccotx???dx

九、微分运算法则

⑴d?u?v??du?dv ⑵d?cu??cdu

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⑶d?uv??vdu?udv ⑷d?十、基本积分公式

⑴?kdx?kx?c ⑵?xdx?ax?u?vdu?udv ??2v?v??x??1??1?c ⑶?dxx?lnx?c

⑷?adx?xlnaxx?c ⑸?edx?e?c ⑹?cosxdx?sinx?c

⑺?sinxdx??cosx?c ⑻?⑼?⑾?1sinx21cosx11?x22dx??secxdx?tanx?c

2??cscxdx??cotx?c ⑽?dx?arcsinx?c

2dx?arctanx?c

11?x2

十一、下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 1a?f?ax?b?dx??f?ax?b?d?ax?b? ???f?x?d?x? u?ax?b u?x ???f?x??x??1dx?1?f?lnx??1xxdx??f?lnx?d?lnx? f?e?d?exxu?lnx ??f?ef?ax??e??adx?dx??? xu?e u?a u?sinx xxxx?lna1f?ax?d?a? ?f?sinx??cosxdx??f?sinx?d?sinx? ????f?cosx??sinxdx???f?cosx?d?cosx? f?tanx??secxdx?2u?cosx u?tanx ??f?tanx?d?tanx? f?cotx?d?cotx? u?cotx f?cotx??cscxdx?2 u?arctanx f?arctanx??11?x2dx??f?arctanx?d?arctanx? ?f?arcsinx??11?x2dx??f?arcsinx?d?arcsinx? u?arcsinx 考无忧论坛-----考霸整理版

十二、补充下面几个积分公式

ccxo?t c?tanxdx??lncosx?c

?c

?cotxdx??cscxdx?12lnsix?nlncsx?c?secxdx?lnsecx?tanx?a

12?x2dx?1aarctanxa?c

?x??a12dx?12alnx?ax?a?c

?1a?x22dx?arcsinxa?c

x?a22dx?lnx?x?a22?c

十三、分部积分法公式

⑴形如?xneaxdx，令u?xn，dv?eaxdx 形如?xnsinxdx令u?xn，dv?sinxdx 形如?xncosxdx令u?xn，dv?cosxdx ⑵形如?xnarctanxdx，令u?arctanx，dv?xndx 形如?xnlnxdx，令u?lnx，dv?xndx

⑶形如?eaxsinxdx，?eaxcosxdx令u?eax,sinx,cosx均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式

22(1)a?x x?asint (2)

a?x x?atant (3)x?a x?asect

2222【特殊角的三角函数值】 （1）sin0?0 （2）sin?6?12 （3）sin?3?3212 （4）sin?2?1） （5）sin??0

（1）cos0?1 （2）cos?6?3233 （3）cos?3? （4）cos?2?0） （5）cos???1

（1）tan0?0 （2）tan?6?tan （3）

?3?3 （4）tan?2tan??0 不存在 （5）

（1）cot0不存在 （2）cot在

?6?3 （3）cot?3?33（4）cot?2?0（5）cot?不存

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十五、三角函数公式

1.两角和公式

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB sinA(?B?)cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB cosA(?B?)tan(A?B)?cot(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanBcotB?cotAsiAncoAstanA?1?tanAcotB?cBo?scBo?staBncAos BAsin B tanA(?B?)taBncoAt

1cotA?cotB?1 cotA(?B?)cotA?coBt?

2.二倍角公式

sin2A?2sinAcosA cosA2?tan2A?2tanA1?tanA2coAs?22siAn??122Asi?n2 os2Ac?1

3.半角公式 sinA2A2?1?cosA21?cosA1?cosAA cos?2sinA1?coAs2 tan??A cot?1?cosA21?cosA1?coAs?siAn?1

cAos

4.和差化积公式

sina?sinb?2sina?b22?cosa?b22a? sina? cossibn?cobs??a?b2cos?2a?b2sin?2a?bsin 2a?bsin 2cosa?cosb?2cosa?b?cosa?btana?tanb?sin?a?b?cosa?cosb

5.积化和差公式

sinasinb??sinacobs?1212????cos?a?b??cos?a?b???s?ian??b? cosacosb?sibn?1212??cos?a?b??cos?a?b??? ??s?ian??b??sian???b cosa??sian???b ?

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6.万能公式

2tansina?1?tana221?tana22a2 tana?a2 cosa?1?tan2a2tan21?tan2a2

7.平方关系

sinx?cosx?1 secx?tanx?1 cscx?cotx?1

222222

8.倒数关系

tanx?cotx?1 secx?coxs? 1?sinx? 1 cscx9.商数关系

tanx?sinxcosx cotx?cosxsinx

十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：

dydydx?f?x?g?y? ， f1?x?g1?y?dx?f2?x?g2?y?dy?0

2.齐次微分方程：

?y??f?? dx?x?

dydx?p?x?y?Q?x? 解为：

3.一阶线性非齐次微分方程：

?p?x?dx??p?x?dxdx?c? y?e?Qxe???????