第四单元分数的意义和性质教材分析
从本单元起，将系统教学分数的知识。包括分数的意义和性质、分数的四则计算和混合运算、分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容。
学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的整体平均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分母分数的大小；会进行同分母分数的加、减法计算。在本册教科书的第三单元里，学生又掌握了因数和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数。可以说，他们已经具备了深入学习分数知识的条件。
系统教学分数知识，在知识技能方面，认数与运算的范围将有很大的扩展，不仅能用整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的一些现象；在数学思考方面，由于分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数、小数更加复杂，思维能力会有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体的关系，能够表示两个数量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、理解并解决问题的能力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣，会对数学与人类社会相互影响、共同发展的关系更有体会。
本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。具体安排见下表： 例1 分数的意义
例2、例3 分数与除法的关系 例4 用分数表示两个数量的倍比关系 例5、例6 真分数和假分数 例7、例8 假分数化成整数或带分数 例9、例10 分数和小数的相互改写 例11、例12 分数的基本性质 例13 约分 例1/4 通分
例1/5 比较分数的大小
单元整理与练习从表格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也多。如果整体把握教材，主要是分数的意义和分数基本性质两大部分。在分数意义这个部分，要在直观认识分数的基础上形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关系，或者表示两个数量之间的倍比关系；要在分数与除法之间建立联系，实现分数和小数的互化；要利用分数单位，从真分数推理出假分数，联系整数或带分数感受假分数的数值。分数基本性质这个部分，要理解分数性质的内容，并且和除法的商不变性质建立对应关系；要应用分数性质进行分数大小比较以及约分和通分，为以后的分数计算作准备。
分数的意义和性质历来是小学数学的重要内容，与传统小学数学里分数意义与性质的教学相比较，本单元教材有两点显著变化：一是加强用分数表示两个同类数量之间的倍比关系，既能充实对分数意义的理解，又能为解决分数实际问题打下基础。二是教学分数与除法的关系、真分数和假分数、分数化成整数或带分数、分数的基本性质等内容，各编排两道例题，加强了知识的形成过程，学生的数学学习更加具有探索性和层次性，有利于他们理解和掌握这些重要的基础知识。
（一） 概括已有的关于分数的感性认识，建立单位“1”的概念，给出分数的描述性定义 小学数学关于分数意义的表述是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。这是对分数的描述式定义。其中单位“1”、平均分、表示一份或几份的数，是定义里的几个
要点。单位“1”是教学分数意义的关键，学生理解单位“1”不容易，是必须突破的教学难点。
例1教学分数的意义，分四步进行。第一步用分数表示一块饼的四分之一、一个长方形的八分之五、一根长1米直条的五分之三、6个圆组成的整体的三分之一，并要求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆。感受被平均分的对象十分广泛，为建立单位“1”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感性材料。第二步指出被平均分的一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位“1”。这里把自然数1作为建立单位“1”概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数1表示，学生容易接受。在理解可以用自然数1表示以后，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度。其次，解决实际问题时，往往用自然数1代替单位“1”参与列式计算，学生应该知道单位“1”可以用自然数1表示。另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学假分数起铺垫作用。第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“1”各是什么，把抽象的概念回归到具体的情境里面，加强对单位“1”的体验。学生按“茄子”卡通的要求回答问题，说出例题的四个分数分别“把单位‘1’平均分成几份，表示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备了数学语言。第四步揭示分数的意义和分数单位的含义。体会教材讲述的分数意义，是对许多分数含义的抽象与概括。每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组成的数。由于在前三步的教学中，逐渐建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了。
“练一练”围绕分数的意义和分数单位的概念进行安排。三年级初步认识分数时，学生已经能够用分数表示图形里的涂色部分，也能通过涂色表示已经给出的分数。现在再次进行这样练习，要联系分数概念和分数单位来思考与解释，体现出比过去要求的提高。如，第1题右边的图，把8个圆组成的整体看成单位“1”，平均分成4份，如果用分数表示这样的1份或几份，分数单位是1/4；涂色部分占3份，可以用3/4表示，这个分数含有3个1/4。又如，第2题用数轴上的点表示分数，应该把数轴上0~1那一段看成单位“1”。如果平均分成三份，其中的一份就是三分之一，两份就是三分之二。如果平均分成六份，其中的一份就是六分之一，几份就是六分之几。
练习八第1题要求涂色表示3个、6个、12个桃的2/3。可以这样思考和解释：把3个、6个或12个桃组成的整体看成单位“1”，平均分成3份，每份是这些桃的1/3；2/3是2个1/3，应该涂这样的2份。第4题要求解释具体情境里的分数的含义，希望学生运用描述分数意义的语言模式，连贯地说出把什么看作单位“1”，平均分的份数和表示的份数。如，五年级一班学生中，会打乒乓球的占5/9。这个分数把五年级一班学生看作单位“1”，平均分成9份，会打乒乓球的学生有这样的5份。再如，一节课的时间是2/3小时。这个分数把1小时作为单位“1”，平均分成3份，一节课的时间有这样的2份。这些练习，有利于加强分数的概念，蕴含了解决分数实际问题的思路。
（二） 通过操作感受分数与除法的关系，发展对分数的认识，完善分数概念
数学教育家都指出，建立分数与除法的联系，对完善分数概念十分重要。利用分数与除法的关系，不只能把分数化成整数或小数，而且与除法意义有关的知识及其应用，就能向分数迁移。
例2和例3都教学分数与除法的关系。教材安排两道例题教学这一个知识。这是因为沟通分数与除法的关系不大容易。学生需要多次进行平均分物体的操作活动，从1块饼平均分成4份到3块饼平均分成4份，再到3块饼平均分成5份，反复感受除法的商不能用整数表示，可以采用分数表示，体会分数与除法的联系是有规律的，从而认识分数与除法的关系。
例2把1块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。对学生来说，这个问题难度不大。无论
凭生活经验还是应用分数的初步认识，都能得出每人分得1/4块。教学要抓住三点：一是让学生通过实物操作或者经过形象思维，得出和“番茄”卡通同样的结果“每人分得这块饼的1/4，是1/4块”。二是引导学生列出解决这个问题的算式，联系平均分的问题可以用除法计算的经验，像“蘑菇”卡通那样用1÷4求每人分得多少块。三是用分数1/4表示除法1÷4的商，得出等式1÷4＝1/4，从而明白整数除法如果得不到整数的商，可以用分数表示除法的结果，初步感受除法算式1÷4和商1/4的内在关系。
例3把3块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。教学线索仍然是“列出算式——分出得数——组成并体验等式”。分析学生的现实情况，他们根据“平均分的问题可以用除法计算”，列出除法算式3÷4应该困难不大，从3块饼平均分成4份的操作活动得出每人分得3/4块有点难度。教学要因势利导，抓住“每人分得多少块”这个问题适时给出点拨。有些学生会像“萝卜”卡通那样把饼1块1块地分，每人每次分得1/4块，3次分得3个1/4块，合起来是3/4块。这种分法的数量关系“3个1/4块是3/4块”，一方面可以通过3个1/4块拼起来是3/4块形象地理解，另一方面可以通过分数单位与分数意义来理解。有些学生会像“蘑菇”卡通那样把3块饼叠起来同时分，每人分得3块的1/4，合起来也是3/4块。这种分法的数量关系“3块的1/4是3/4块”，要联系3块饼同时被平均分成4份，表示其中1份的事实，帮助学生理解“3块的1/4”的意思，体会“是3/4块”的合理性。在列出算式、分出得数以后，仍然要组成和体验等式。联系3÷4＝3/4继续感受整数除法的商可以用分数表示，体会除法式子与分数的对应联系。
例3还有一段延伸：如果把3块饼平均分给5个小朋友，求每人分得多少块，并且用分数表示3÷5的商。联系前面两次分饼的经验，应该不难得出这次分饼的结果。或是从3个1/5是3/5，或是从3的1/5是3/5，写出除法算式3÷5及其商3/5，进一步丰富对除法与分数关系的感性认识。
在例2和例3的三个等式里发现分数与除法的关系，是这两道例题的教学重点所在。不仅要得出一个十分重要的数学知识，而且能培养学生的概括能力。因为得出分数与除法的关系，要仔细观察组成的三个等式，对除法算式以及分数进行分析、比较，找到对应的联系，进行综合、概括，说出从除法算式到分数的转换方法与要领。实事求是地说，小学生开展这样的思维活动需要教师的帮助，如果全放手、全放开地让他们独立发现，将会是困难的，甚至是混乱的。教师的点拨可以是先确认除法算式里的被除数和除数，然后研究把除法算式写成分数，被除数和除数分别在分数的哪里，分别是分数的什么。先后用两种形式表达分数与除法的关系，即像“萝卜”卡通那样用数学语言讲述，像“辣椒”卡通那样用数量关系式表示。语言讲述比较具体，有利于理解和交流；数量关系式比较模式化，有利于操作。教材还把字母表示的除法算式改写成分数，使分数与除法关系从数学知识变成学生的改写技能，而且从“除数不能是0”推理出“分母不能是0”，完善对分数与除法关系的认识。
例3后面的“试一试”应用分数与除法的关系，把较小单位的名数聚成较大单位的名数。如，7分米小于1米，把7分米改写成米作单位的名数，结果不会是整数，可用分数表示。因为7÷10＝7/10，所以7分米＝7/10米。类似的23分不满1时，把23分改写成以时作单位的名数，只能用分数表示结果。因为23÷60＝23/60，所以23分＝23/60时。“试一试”通常先让学生独自完成，再组织交流。要帮助学生弄明白两点：一是为什么用除法计算，明白这里是把把较低单位表示的名数改写成较高单位的名数。二是怎样写出除法算式的商，明白要正确应用分数与除法的关系。
“练一练”第1题把1公顷地平均分成5份，计算每一份的公顷数。可以先根据现实的数量关系列出除法算式，再应用分数与除法的关系写出除法算式的商，让学生重温学到的新知识。第2题既把
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