函数与极限习题与答案

第一章 函数与极限

（A）

一、填空题 1、设f(x)?2?x?lglgx ，其定义域为 。

2、设f(x)?ln(x?1) ，其定义域为 。 3、设f(x)?arcsin(x?3) ，其定义域为 。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为 。 5、设y?f(x)的定义域是[0，2] ，则y?f(x)的定义域为 。

2x2?2x?k?4 ，则k= 。 6、limx?3x?3x有间断点 ，其中 为其可去间断点。 sinxsin2x8、若当x?0时 ，f(x)? ，且f(x)在x?0处连续 ，则f(0)? 。

xnnn9、lim(2?2???2)? 。

n??n?1n?2n?n7、函数y?10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的 条件。

(x3?1)(x2?3x?2)? 。 11、lim53x??2x?5x12、lim(1?)n??2nkn?e?3 ，则k= 。

x2?113、函数y?2的间断点是 。

x?3x?214、当x???时，

1是比x?3?x?1 的无穷小。 x15、当x?0时，无穷小1?1?x与x相比较是 无穷小。 16、函数y?e在x=0处是第 类间断点。

31x17、设y?x?1 ，则x=1为y的 间断点。 x?118、已知f?1???? ??3，则当a为 时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?处连续。

33?3??sinxx?0?2x19、设f(x)??若limf(x)存在 ，则a= 。 1x?0?(1?ax)xx?0?x?sinx20、曲线y??2水平渐近线方程是 。 2x21、f(x)?4?x2?1x?12的连续区间为 。

22、设f(x)???x?a,x?0 在x?0连续 ，则常数

?cosx,x?0a= 。 二、计算题

1、求下列函数定义域 （1）y?

（3）y?e ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ （1）f(x)?lnx

（2）f(x)?x

（3）f(x)?1,21 ； （2）y?sinx ； 21?x1x,g(x)?2lnx ；

,g(x)?x2 ；

g(x)?sec2x?tan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）y?x(1?x) ； （2）y?3x?x ；

2223

（3）y?x(x?1)(x?1) ；

4、求由所给函数构成的复合函数 （1）y?u （2）y?2,u?sinv,v?x2 ；

u,u?1?x2 ；

5、计算下列极限 （1）lim(1?n??1111?2?3???(n?1) ； ????n) ； （2）lim2n??242n

x2?2x?1x2?5（3）lim ； （4）lim ； 2x?1x?2x?3x?111x3?2x2（5）lim(1?)(2?2) ； （6）lim ； 2x??x?2xx(x?2)x2?11（7）limxsin ； （8）lim ；

x?1x?0x3?x?1?x2（9）limx(x?1?x) ；

x???2

6、计算下列极限 （1）lim

（3）limxcotx ； （4）lim(x?0x??sinwxsin2x ； （2）lim ；

x?0x?0sin5xxxx) ； 1?x1x?1x?1（5）lim() ； （6）lim(1?x)x ；

x?0x??x?1

7、比较无穷小的阶

（1）x?0时，2x?x与x?x ；

223

（2）x?1时，1?x与(1?x) ；

8、利用等价无穷小性质求极限

122tanx?sinxsin(xn)（1）lim ； （2）limx?0x?0(sinx)msinx3

9、讨论函数的连续性

(n,m是正整数) ；

?x?1,x?1 f(x)??在x?1。?3?x,x?1

10、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x) ； （2）lim(x?x?x?2?x???x2?x) ；

6

（3）limlnx?0sinx12x ； （4）lim(1?) ；

x??xx

（5）设f(x)?lim(1?)n??xnn,求limf(?t?11) ； t?1

（6）limxln(x??x?1) ； x?1

?ex,x?011、设函数f(x)??

?a?x,x?0应当怎样选择a ，使得f(x)成为在(??，??)内的连续函数。

12、证明方程x?3x?1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）y?f(e) （2）y?f(lnx)

2、设f(x)??求

x?0,x?o?x,x?0?0,x?0 g(x)??2??x,x?0f[g(x)],g[f(x)]

f[f(x)],g[g(x)],