《1.3.2球的体积和表面积》同步练习1

《1.3.2球的体积和表面积》同步练习1

一、选择题

1．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( ) A．22R 8

C．93R3 [答案] C

2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) 6πA．6 2πC．2 [答案] A

πB．2 3πD．2π 3

4B．3πR3 3D．9R3

a22

[解析] 由6a＝4πR得R＝2πV1a33?

＝4π?3，∴V2＝4?3

πR3

6π2π?

?3＝6. 3?

3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( ) A．6�w5 C．4�w3 [答案] D

B．5�w4 D．3�w2

S柱2πR2＋4πR23

2

[解析] 设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴S球＝＝2. 4πR4．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．202 C．50π [答案] C

5

2

[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝3＋4＋5，∴R＝22，S球＝4πR＝50

2

2

2

B．252 D．200π

π.

5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A．9π C．11π [答案] D

B．10π D．12π

[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为

2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.

a6．64个直径都为4的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则( ) A．V甲>V乙且S甲>S乙 C．V甲＝V乙且S甲>S乙 [答案] C

11

3232

[解析] 计算得V甲＝6πa，S甲＝4πa，V乙＝6πa，S乙＝πa，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙． 二、填空题

7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

B．V甲

[答案] 3π

[分析] 由三视图可知该几何体为半个球，利用球的表面积公式求解即可．

1

2

[解析] 由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×1＋2×4×π×1＝3π.

2

8．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________． 36

[答案] π 433

[解析] 设球O的半径为r，则3πr＝2， 36

解得r＝π 9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．

[答案] 3�w1�w2

23

[解析] V柱＝πR×2R＝2πR，

12π

2

V锥＝3πR×2R＝3R3， 4

V球＝3πR3.

V柱�wV锥�wV球＝3�w1�w2. 三、解答题

10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．

[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a， S2＝4πR2，S3＝6πr2.

4

332

由题意知，3πR＝a＝πr·2r，

3∴R＝

3314πa，r＝2πa，

2

??933322??2a2∴S2＝4π＝4π·＝336πa， 16πa?4π???31132354πa2， ??2a2S3＝6π6π＝·＝4π?2πa?

∴S2

222

又6a>332πa＝354πa，即S1>S3.

∴S1、S2、S3的大小关系是S2

11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少cm(结果精确到0.1)？

(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？

[解析] (1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为 44

3

V球＝3πR＝3π·27＝36π(cm3)． 又圆柱筒的体积为

V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)． 所以这种“浮球”的体积是：

V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)． (2)根据题意，上下两个半球的表面积是 S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)， 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为： S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)， 所以1个“浮球”的表面积为 36π＋12π48

2

S＝＝104π(m)． 104

48

2

因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S＝2500×104π＝12π(m)． 因为每平方米需要涂胶100克，

所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)． 12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．

3

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)．

(2)求这个几何体的表面积及体积． [解析] (1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体． 由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积

1

S＝5×2＋2×2×2＋2×2×(2)2

2

＝(22＋42) cm，

1

23

所求几何体的体积V＝2＋2×(2)×2＝10(cm)．

3

2