椭圆及其标准方程
教学目标：
（1） 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。 （2） 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 （3） 通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。 教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。 教学任务分析：
（1） 学生已有的主要知识结构
学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。
（2） 建立新的知识结构
与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。 教学基本流程：
教学过程： 问题 1、回顾圆的定义，让学生用准备好的工具画圆。 设计意图 学生动手画圆，结合师生活动 1.由学生动手实验，并说出圆的定备注 画圆时，绳子一端固定在纸板上，一端栓在笔上学生再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。 2.将圆心分开变为两个，绳子两端固定在这两个定提出新的问题，激发学生的好奇心，引发1.师生一起画图，得到一个压扁的“圆”—椭圆； 让学生领略到数学的美，认识到数学与生活根据条件，确定椭圆的标准方程 通过作图，提出问题，引入椭圆的定义回忆圆的定义，与已有的知识联系 小结与布置作业 图形，重现思维轨迹，义； 为椭圆的学习作好铺垫。 点上，用笔勾住绳子，将会画出什么样的曲线呢？ 3.在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？ 4.应该如何描述动点M所满足的几何条件？ 学习兴趣。 2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等。 息息相关。 1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。 2.让学生体会类比思想，整理实验，归纳抽象成数学问题。 1.引导学生分析实验，发现两个确定的量—定点及绳长，变动的量—笔尖（即椭圆上的点）。 2.再次演示画椭圆的过程，引导学生发现规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。 这里应给予学生充分思考和讨论的机会，引导他们说出自己的发现，并逐步修正得到椭圆的定义。 5.将两位学生所画的椭圆投影到大屏幕，并提出问使学生认识到椭圆的形状受到两定点1．教师：改变原有的两定点的距离画椭圆并观察图形，大家有什么发现? 学生：F1,F2的距离愈近椭圆愈圆， 题：在绳长相同的情况下，F1,F2的距离的影为什么画出的椭圆有圆有扁呢？ 响。 F1,F2的距离愈远椭圆愈扁。 使学生进一步认识到椭圆的形状也受到绳长的影响。 教师：如果定点的位置相同，只改变绳长，椭圆又有什么变化？ 学生：绳愈短椭圆愈扁，绳愈长椭圆愈圆。 教师：设|F1F2|=2C，|MF1|+|MF2|=2a,如何通过a,c刻划椭圆的扁圆程度。 6.如果只改变绳长，而不改变F1,F2的距离，又会出现什么结果呢 cc学生：当a越小时，椭圆愈圆，当a越大时，椭圆越扁。 7.椭圆与两定点位置及定线段长有关，是否给定了线段长和两定点位置就一定能作出椭圆呢？ 加深对概念的理解 师生共同探讨，并演示课件，展示2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不同情形的轨迹。 学生：当2a>2c时，轨迹是椭圆;当 2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1,F2为端点的线段;当2a<2c时，无轨迹;当c=0时，轨迹为圆. 写出动点M所满足的几何条件的点的集合：P=?M||MF1|+|MF2|=2a?。 明确椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 8.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等领域有着广泛的应用，因此，有必要进一步探求它的性质，研究它的方程。求曲线方程的步骤是什么？怎样建立适当的坐标系，求椭圆的方程呢？ 完成了“建系”，设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与F1,F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）。 由定义可知，椭圆就是集合P=?M||MF1|+|MF2|=2a温旧知新，让学生认识到适当的坐标系有利于化简，也会使所得的方程比较简单。 学生回答求曲线方程的步骤，教师引导学生讨论如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性，得出以线段F1F2的中点为原点，以F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。 事实上，椭圆的美主要体现在均匀对称上，应充分引导学生讨论、发现这一点。 ?。 22222222(x?c)?y(x?c)?y(x?c)?y(x?c)?yMFMF1|=2|=|,|,+=2a. 能否将上面所得等式两边同时平方？应该如何处理两个根号的位置更有利于化简？ 在学生已懂得一个根式化简的情况下，针对具体的问题，寻求解决问题的想法。 请3—4名学生板演方程化简，教师在教室中走动，观察学生的化简情况。 组织学生评价板演情况，使学生明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给学生。 教师：设|F1F2|=2c, |MF1|+|MF2|=2a，观察图形能否找出a,c，结合图形，赋予a,c，（展示图形）学生：可以看出a,c通过类比，让学生写出焦点在y轴上椭圆的标准方程，并根据方程分辨椭圆的焦点在x轴或y轴上。 a2?c2以具体的几何意义。 是以F1F2为底边的等腰三角形的腰及底边的一半。 教师：不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除a2?c2所表示的线段及其关系呢？ x2y2?2?12b以a2b2得a，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何？ 学生：a>b>0. 教师用总结性的语言引导学生对椭圆方程再认识： 椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。 椭圆的三个参数a.b.c满足a?b?c。 椭圆标准方程中x,y的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。 1教材中例1. 2补充练习：已知椭圆的方椭圆标准方程的应用。 2位学生板演例1，补充练习由学生口答。 教师：如果将椭圆方程改为 22222x2y2??1程为1625则 （1）a= b= c （2）焦点在 轴上，其焦点坐标为 ，焦距为 。 （3）若CD为过左焦点F1的弦，则?CF1F2的周长为 ，?F2CD的周长为 。 x2y2?2516=1，上述问题（1）（2）（3）有何变化？ 学生：（回答略）
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