第五节 二次函数性质的再研究与幂函数
[最新考纲] 1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系123
解决简单问题.2.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝的
x图像，了解它们的变化情况．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图像与性质 函数 图像 2
2
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 定义域 值域 R ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?上减， 2a??在?－，＋∞?上增 ?2a?2?－∞，4ac－b? ?4a???在?－∞，－?上增， 2a??在?－，＋∞?上减 ?2a?2?b??b?单调性 ?b??b?对称性 2．幂函数 函数的图像关于直线x＝－对称 2ab(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝x，这样的函数称为幂函数．
(2)五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 12αy＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 [常用结论] R R 奇 增 R R R 奇 增 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 {y|y≥0} 偶 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 (1,1) 1．幂函数y＝x在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；
(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n](m＜n)上的单调性与值域时，分类讨论－与m或n的大小． 2a3．与二次函数有关的恒成立问题
(1)ax＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”． (2)ax＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．
??f(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是?
?f?
22
2
αbm＞0，n＞0.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 1
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
2
(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当α＜0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( ) 4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
4a2
2
α(5)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编
2
2
2??1α1．已知幂函数f(x)＝k·x的图像过点?，?，则k＋α＝( )
?22?1
A． 23
C． 2
B．1 D．2
2??1αC [因为函数f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图像过点?，?，
?22?213?1?α所以??＝，解得α＝，则k＋α＝.]
222?2?
2．如图是①y＝x；②y＝x；③y＝x在第一象限的图像，则a，b，
abcc的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b D [根据幂函数的性质，可知选D.]
3．已知函数f(x)＝x＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
( )
A．a≥3 C．a＜－3
2
2
B．a≤3 D．a≤－3
D [函数f(x)＝x＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]
4．函数g(x)＝x－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g(x)＝x－2x＝(x－1)－1，x∈[0,3]， ∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3，
即g(x)的值域为[－1,3]．]
2
2
2
考点1 幂函数的图像及性质
幂函数的性质与图像特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝x(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定
α
其解析式．
(2)判断幂函数y＝x(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
1.幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，3)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
1ααD [设幂函数f(x)＝x，则f(3)＝3＝3，解得α＝，则f(x)＝x＝x，是非奇
2非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m＋m－1)xA．－2 C．1或－2
B [因为函数y＝(m＋m－1)x??m＋m－1＝1，所以?
??－5m－3＜0，
2
2
－5m－3
2
－5m－3
αα为减函数，则实数m的值为( )
B．1
－1±5
D．m≠
2
既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
解得m＝1.]
?1??1??1?3．若a＝??，b＝??，c＝??，则a，b，c的大小关系是( ) ?2??5??2?
A．a＜b＜c C．b＜c＜a
B．c＜a＜b D．b＜a＜c
?1?D [因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝??＞b＝
?2??1?，因为y＝?1?x是减函数， ?5??2?????
?1??1?所以a＝??＜c＝??，所以b＜a＜c.]
?2??2?
4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
?－1，2? [易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
?3???
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