为________．
－1或2 [函数f(x)＝－x＋2ax＋1－a＝－(x－a)＋a－a＋1，对称轴方程为x＝a. 当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， 所以1－a＝2，所以a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a－a＋1， 所以a－a＋1＝2，所以a－a－1＝0， 1±5
所以a＝(舍去)．
2
当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2.]
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴
定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
二次函数中的恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成
立，则实数m的取值范围是________；
(2)已知函数f(x)＝x＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．
(1)?－
2
2
222
2
2
??2?
，0? (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f(x)的草图如图2?
所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有?
2
?f???fm＜0，
m＋1＜0，
2
??m＋m－1＜0，
即?2
??m＋1＋mm＋1
－1＜0，
解得－
2
＜m＜0. 2
2
(2)由题意得x＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立． 设g(x)＝x＋x＋1，x∈[－3，－1]， 则g(x)在[－3，－1]上递减． ∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
2
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
[教师备选例题]
已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
??fx(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝?
??－f2
，x＞0，
x，x＜0，
求F(2)
＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． [解] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0， 且－＝－1，解得a＝1，b＝2，
2a所以f(x)＝(x＋1).
??x＋1，x＞0，
所以F(x)＝?2
??－x＋1，x＜0.
2
22
b
2
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)＋[－(－2＋1)]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x＋bx，原命题等价于－1≤x＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 11
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
2
2
xx11
又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.
xx故b的取值范围是[－2,0]．
1.若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax＋bx的图像只可能是( )
2
A B C D
C [因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x＝－＜0，只有选项C适合．]
2ab?7?2
2．若函数y＝x－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为?，4?，则m的取值范围为( )
?4?
A．(0,4]
?3?B．?，4? ?2??3?D．?，＋∞? ?2?
?3?C．?，3?
?2?
?3?272
C [y＝x－3x＋4＝?x－?＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为
?2?4?7，4?，根据二次函数图像的对称性知3≤m≤3，故选C.] ?4?2??
3．设二次函数f(x)＝ax－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．
[0,2] [依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax－2ax＋c图像的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，即函数图像的开口向上，所以f(0)＝f(2)，
则当f(m)≤f(0)时， 有0≤m≤2.]
2
2
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