174.赵角平分线2

角平分线性质（2）

例1已知，如图，AB=CD，△PAB和△PCD

面积相等，求证：OP平分∠AOC． B[思路分析] 只需证明E点到∠FAC两边距【目标导航】

A离相等即可．（如果用定义证，难以凑效）．而掌握角平分线性质判定的应用

已知条件中有角平分线BE、CE，应考虑用角【预习引领】

P平分线的性质来证E点到∠FAC两边的距离1、三角形的三条 的交于一点，并 OCD相等． 且这一点到三条边的距离相等．

2、在证明三角形的三条角平分线交于一点 时，我们应先假设三角形的 条角 平分线交于一点，再证明 也经过这 一点，这样就间接证明了三角形的三条角平

分线交于一点．

例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相 3、如图，l交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA 1l2l3表示三条相互交叉的公路，的距离相等，且P点在∠BAC的角平分线上．

现要建一个货物中转站，要求它到三条公路

A 的距离相等，则可选择的地址有（ ）． N

A、一处 B、二处 C、三处 D、四处 PM[总结] 证明点在角平分线上，关键是要 BC证明这个点到角的两边距离相等，即证明线段 l2 相等，常用的方法有：利用全等三角形、角平 l1 分线的性质和利用面积相等，但要特别注意的

是点到角的两边的距离． l3

分析：由于已知BM平分 ，例4：三角形三条角平分线交于一点，且这点 从而可知P到边 、边 距离相到三角形三边距离相等．

等，因而必须作PD⊥AB于D，PE⊥BC于[方法规律] 该结论的证明揭示了三线共【要点梳理】

E，得线段 =线段 ．

点的证明． 探究：

同理：已知 平分 ，从而可知P思路：先设其中的两线交于一点，再证明该点如图，已知∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB到边 、边 距离相等，因此必在第三线上． 于F，若PE=PF，则P点有何位置特征． 作PF⊥AC于F．

分析：由于PE⊥OA于E，PE的长表示P得线段 =线段 ．

到OA的距离，

∴线段 =线段 =线 同理由于PF⊥ 于 ，PF的长段 ． 表示P到 的距离．

追问：

又PE=PF，即P到 和 的 （1）P也在∠BAC的角平分线上 距离相等， 吗？ ．

联想到，角平分线上点到角的两边距离相等，（2）三角形的三条角平分线交于形内 例5：某考古队为进行考古研究，寻找一座古因而想到连结OP，想一想，此时P点在点，这点到三边 相等．

城遗迹，根据史料记载，这座古城在古战道与∠AOB的角平分线上吗？ （填在例3：已知如图，BE平分∠ABC，CE平分

F河流之间且到古战道与河流距离相等，在凤凰或不在），为什么？（请写出证明过程）A ∠ACD，且交BE于点E．求证：AE平分

山附近且距离雁塔有2000m，考古队员很快 E∠FAC． AE找到了这座古城的的遗址，你能用学过的知识 P 在图中合理标出古城遗址吗？（比例尺为1：

25 BCDOFB10000如图所示） O

雁塔C

A

古战道河流BDM

凤凰山P[思路分析] 设古战道与河流交于点O，OA表示河流，OB表示古战道，点C表示雁塔，点D表示凤凰山．

（1） 以尺规作出∠AOB的平分线OP． （2） 以点C为圆心，2cm长为半径作

圆探求M点．

【课堂操练】

1、已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它

到△ABC三边的距离相等．

A

BC

2、如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则（1）△ABE≌△ACF． （2）△BDF≌△CDE．（3）D点在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是（ ）． A 只有（1） B 只有（2） C 只有（1）（2） D 只有（1）（2）（3）

AEC D F B 26

【课后巩固】

1、如图，等边三角形的三条角平分线交于点I，点I到三个顶点的距离 ． A

EIF

BDC2、观察上图，可以发现等边三角形三条角平分线、三条高、三条中线 ，并且三条角平分线的交点到三边距离与到三顶点的距离之比是 ． 3、已知，如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC，求证，点C在∠DAB的平分线上． B C A D

4、如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，Q是OP上一点，QE⊥OA于E，

QF⊥OB于F，求证：QE=QF． A CE

QP 0FDB

5、已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，ME⊥AD．求证：（1）MB=ME． （2）AM平分∠DAB． DC

6、如图，点P在∠ABC的平分线上，EPA⊥ABM，PC⊥CB，D为BP上一动点，则AD=CD，∠ADB=∠CDB，为什么？ A

AB

DP B C

7、已知BP、CP是△ABC的外角平分线，

则点P必在∠BAC的平分线上．

M

C P A BN 8、如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC的延长线于G，则BF=CG，

为什么？ A

F

BDCG

E 9、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，求证：OE=OF． B

FOEAC

10、如图，四边形27 ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE则∠B与∠ADC互补，为什么？ DC

AEB

11、如图，AM是△ABC的边BC边上的中线，ME，MF分别平分∠AMB、∠AMC，你能判断BE+CF与EF的大小关系吗？为什么？

A

EF BMC 12、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，△ABC内存在一点P到三边距离相等，这个距离为 ．

AE

DP BFC

13、如图，BD=CD，BF⊥ AC于F，CE⊥ AB于E，求证：D在∠BAC的平分线上．B

E D

AFC【课外拓展】

14、如图所示，EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，交点是G，BP、CP是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是，P．（1）证明：A、P、G三点共线．（2）若∠G=68°，求∠P的度数． N

C FGP

ABEM

15、如图所示，D是△ABC一个外角平分线上一点，求证：AB+AC

A

D

BC

参考答案：

角平分线性质（2）

【预习引领】 1、角平分线

2、两条 另一条角平分线 3、答案：D 【要点梳理】 探究：

OB F OB OA OB 在 证明：连接OP. ∵PF⊥OB, PE⊥OA, ∴∠PEO=∠PFO=90° 又PE=PF,PO=PO, ∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL). ∴∠POE=∠POF. 即P点在∠AOB的角平分线上 例1:答案：过P作PE⊥AB、PF⊥CD,垂足分别为E、F. ∵PE⊥AB,PF⊥CD, △PAB和△PCD面积相等， ∴1AB·PE=

122CD·PF. 又AB=CD， ∴PE=PF. 又PE⊥AB,PF⊥CD, ∴P点在∠AOB的角平分线上. 即OP平分∠AOC.

例2：答案：过P作PD⊥AB、PE⊥BC 、PF⊥AC,垂足分别为D、E、F. ∵PD⊥AB、PE⊥BC, P点在∠AOB的角平分线上, ∴PD=PE. 同理:PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等， 又PD⊥AB、PF⊥AC, ∴P点在∠BAC的角平分线上. 分析： ∠ABC AB BC PD PE CN ∠ACB BC AC PE PD PE PF 追问：（1）在 （2）的距离 例3：答案：过E作EG⊥BA、EP⊥BC 、

EH⊥AC,垂足分别为G、P、H.

∵BE平分∠ABC，EG⊥BA、EP⊥BC, ∴EG=EP. 同理:EH=EP. ∴EG=EH. 又EG⊥BA、EH⊥AC, ∴AE平分∠FAC. 例4：答案：如图,AD、BE、CF分别是△ABC的三个内角的平分线,设AD与BE交于点P,过P作PG⊥AC、PH⊥AB 、PM⊥BC,垂足分别为G、H、M. 则有PG=PH,PH=PM. ∴PH=PG=PM. 又PG⊥AC、PM⊥BC, ∴P点在∠ACB的角平分线上. 即PC平分∠ACB. ∴三角形三条角平分线交于一点.

【课堂操练】

1、答案：分别作∠ABC和∠ACB的角平分线,交于点P,则P为所求的点. 2、答案：D 【课后巩固】 1、相等

2、交于一点 1：2 3、答案：连接AC. ∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). ∴∠BAC=∠DAC. 即点C在∠DAB的平分线上. 4、答案：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD， ∴点P在∠AOB的平分线上. 即OP平分∠AOB. 又QE⊥OA，QF⊥OB, ∴QE=QF. 5、答案：(1)

∵∠C=90°，ME⊥AD, DM平分∠ADC，

∴MC=ME.

又M是BC中点， ∴MC=MB. ∴MB=ME. (2) ∵ME=MB 又ME⊥AD, ∠B=90°， ∴AM平分∠DAB. 6、答案：∵点P在∠ABC的平分线上，PA⊥AB，PC⊥CB， ∴PA=PC. 又PA⊥AB，PC⊥CB，PB=PB, ∴Rt△PAB≌Rt△PCB(HL). ∴BA=BC. 又PB平分∠ABC,DB=DB, ∴△ABD≌△CBD(SAS) ∴AD=CD，∠ADB=∠CDB. 7、答案：过P作PD⊥AC、PE⊥BC 、PF⊥AB,垂足分别为D、E、F. ∵BP、CP是△ABC的外角平分线， ∴PF=PE,PD=PE. ∴PF=PD. 又PD⊥AC 、PF⊥AB, ∴点P必在∠BAC的平分线上. 8、答案：连接EB、EC. ∵D是BC边上的中点，DE⊥BC ∴EB=EC. 又AE平分∠BAC, EF⊥AB，EG⊥AC, ∴EF=EG. 又EF⊥AB，EG⊥AC, ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL). ∴BF=CG. 9、答案：过O作OM⊥AB、ON⊥BC、OD⊥AC,垂足分别为M、N、D. ∵OA平分∠BAC, OC平分∠ACB, ∴OM=OD,ON=OD. ∴OM=ON. ∵OA平分∠BAC, OC平分∠ACB, ∴∠OAC=

12∠BAC, ∴∠OCA=12∠ACB. ∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠ACB) =

12(180°-∠ABC) 又∠ABC=60°， ∴∠OAC+∠OCA=

12(180°-60°)= 60°. ∴∠EOF=∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=

180°-60°=120°. 即∠FOM+∠MOE= 120°.

在四边形BMON中, OM⊥AB、ON⊥BC, ∠ABC=60°， ∴∠MON=120°， 即∠NOE+∠MOE= 120°. ∴∠FOM=∠NOE. 又OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON, ∴△FOM≌△EON(ASA) ∴OF=OE. 即OE=OF.

10、答案：延长AD到F,使DF=BE. ∵AD+AB=2AE, ∴AD+AB-AE=2AE-AE. ∴AD+BE=AE. 又DF=BE ∴AD+DF=AE. 即AF=AE. 又AC平分∠BAD，AC=AC, ∴△AFC≌△AEC(SAS) ∴FC=EC, ∠F=∠AEC 又CE⊥AB, ∴∠F=∠AEC=90°=∠CEB. 又FC=EC, DF=BE, ∴△DFC≌△BEC(SAS) ∴∠CDF=∠B. 又∠CDF+∠ADC=180°. ∴∠B+∠ADC=180°. 即∠B与∠ADC互补.

11、答案：BE+CF>EF.理由如下: 过B作BG∥AC,交FM的延长于点G,连接EG. ∵ME，MF分别平分∠AMB、∠AMC，

∠AMB+∠AMC=180°, ∴∠EMG=∠EMF=90°. 又BG∥AC, ∴∠BGM=∠CFM, ∠GBM=∠FCM. 又BM=CM, ∴△BGM≌△CFM(AAS). ∴CF=BG,GM=FM. 又∠EMG=∠EMF=90°. ∴EF=EG.

又BE+ BG >EG, ∴BE+CF>EF. 12、答案：3 13、答案： ∵BF⊥ AC，CE⊥ AB, ∴∠DFC=∠DEB=90°. 又∠FDC=∠EDB,CD=BD, ∴△FDC≌△EDB(AAS). ∴DF=DE. 又BF⊥ AC，CE⊥ AB, ∴D在∠BAC的平分线上. 【课外拓展】

14、答案：(1)过G作GD⊥AC、GH⊥EF 、GK⊥AB,垂足分别为D、H、K. ∵EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线， ∴GH=GK,GD=GH. ∴GK=GD. 又GD⊥AC、GK⊥AB, ∴G在∠DAK的平分线上. 同理:P在∠DAK的平分线上. ∴A、P、G三点共线． (2) ∵EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线， ∴∠FEG=

12∠FEM, ∠GFE=12∠EFN. ∴∠FGE=180°-∠FEG -∠GFE

=180°-

12∠FEM-12∠EFN =180°-12(∠FEM+∠EFN)

=180°-12(180°-∠AEF+180°-∠AFE)

=180°-12(360°-∠AEF-∠AFE) =180°-12(180°+∠A)

=90°-12∠A.

同理: ∠P=90°-12∠A.

∴∠P=∠FGE 又∠FGE=68°， ∴∠P=68°. 15、答案：在BA延长线上截取AP,使AP=AC,连接PD. ∵DA平分∠CAP, ∴∠CAD=∠PAD. 又AC=AP,AD=AD, ∴△CAD≌△PAD(SAS). ∴DC=DP.

又BP