（3）an?1n(n?1)1?1n?1n?1?1[ （4）an?1(2n)2(2n?1)(2n?1)?1?122n?1(1?12n?1)
（5）an?n(n?1)(n?2)n?21n2n(n?1)?1(n?1)(n?2)1n?2n?1]
(6) an?n(n?1)2??2(n?1)?nn(n?1)?12n??1(n?1)2n,则Sn?1?1(n?1)2n
（7）an?1(An?B)(An?C)1n?n?1?1C?BAn?B(1?1An?C)
（8）an?
[例9] 求数列
?n?1?n
11?2,12?13,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an?n?1n?1??n?1?n （裂项）
则 Sn?12?31?2?????1n?n?1 （裂项求和）
＝(2?1)?(3? ＝n?1?1 [例10] 在数列{an}中，an?1n?11n?1??2n?122)?????(n?1?n)
n?1?????nn?1n?，又bn?n22an?an?1，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵ an? ∴ bn??????n?1
2nn?1?221212?8(1n?1n?1) （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和 Sn?8[(1? ＝8(1?1cos0cos1??)?(?13)?(8n13?14)?????(1n?1n?1)] （裂项求和）
1n?1) ＝
n?1
1cos88cos89??[例11] 求证：?1cos1cos2????????cos12??sin1
6
解：设S?1cos0cos1???1cos1cos2????????1cos88cos89??
∵
sin1???cosncos(n?1)1???tan(n?1)?tann （裂项）
1??? ∴S?cos0cos1cos1cos2cos88cos891???????? ＝{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin1??????1?? （裂项求和）
＝
1sin1?(tan89?tan0)＝
??1sin1??cot1＝
?cos12??sin1
∴ 原等式成立
练习题1. 答案：
.
练习题2。 =
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得
??? 7
a4??1,a5??3,a6??2,
a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,
??
a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2
∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和）
＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)
?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002
＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4 ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.
解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10
由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得 Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6) （合并求和）
＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)
＝log39?log39?????log39 ＝10
练习、求和： 练习题1 设，则
＝___
答案：2
.
练习题2 ．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1〃n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2
8
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn=
2
2
2
2
2
2
答案：A
练习题 3 100-99+98-97+…+2-1的值是
A.5000 B.5050 C.10100 D.20200
解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求1?11?111?????111????1之和. ??n个1???1?解：由于111???k个119?999?????9????k个119(10k?1) （找通项及特征）
????1 ∴ 1?11?111?????111??n个1＝
19(10?1)?119(102?1)?19n(103?1)?????19(10n?1) （分组求和）
＝
19(10?10?10?????10)?12319(1??1??1??????1) ????n个1110(10?1)n＝?? 910?19n＝
181(10n?1?10?9n)
[例16] 已知数列{an}：an?8(n?1)(n?3)?,求?(n?1)(an?an?1)的值.
n?1解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[1(n?1)(n?3)1?1(n?2)(n?4)1] （找通项及特征）
＝8?[(n?2)(n?4)1n?2??1(n?3)(n?4))?8(1] （设制分组）
1n?4 ＝4?(n?4n?3?) （裂项）
9
??∴
?(n?1)(an?an?1)?4?(1?1?)?8?(1?1) （分组、裂项求和）
n?1n?1n?2n?4n?1n?3n?4 ＝4?(1?134)?8?14
＝133
提高练习：
1．已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，
⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?an2n,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；
2．设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用an表示an?1；
3．数列?a,a n?N*n?中，a1?84?2且满足an?2?2an?1?an
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn；
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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