河南开封市2013届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 1．设i是虚数单位，则复数z?(1?i2013)= 1?i A．-1 B．1 C．?i D．i
2
2．若集合A={0，1}，B= {-1，a），则“a=l”是“A∩B={1}”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．曲线y?sinx?e在点（0，1）处的切线方程是
A．x?3y?3?0 C．2x?y?1?0
B．x?2y?2?0 D．3x?y?1?0
x4．若执行如图所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?3,x?2, 则输出的数S等于 A．
211 B．1 C． D． 3325．已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= A．-4 B．-6 C．-8
6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 A．5 B．6 C．7 D．8 7．若sin??
D．-10
4,sin??cos??1,则sin2?= 52412A．? B．?
2525424C．? D．
525228．双曲线kx?y?1的一条渐近线与直线2x?y?1?0垂直，则双曲线的离心率是
A．
5 2B．
3 2C．3 D．5 ?x1?2?,x?4记a?f(log9．函数f(x)??x??f(x?2),x?4
21),b?5,c?35,则 2第 1 页 共 9 页
A．a>b>c B．b
????1????????AD?AB??AC(??R)，则角C=
3??A． B．
64C．
? 2D．
? 3 11．已知三棱锥O—ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O—ABC的体积为A．64?
5，则球O的表面积是 4B．16?
C．
32? 3D．544?
12．定义在R上的函数f(x)满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f?(x)?1，则不等式2x2?1的解集为 f(x)?22 A．（1,2）
B．（0，1） C．（1,+∞） D．（-1，1）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．
?x?0y?1?,则z?13．设变量x，y满足约束条件?y?0的取值范围 。
x?1?4x?3y?12?x2y2514．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，其中一个顶点坐标为（0，2），则
5ab椭圆的方程为 。
15．已知函数f(x)?log2(x?2)，若实数m，n满足f(m)?f(2n)?3,则m?n的最小值
是____． 16．设f(x)?12?2x,则f(?5)?f(?4)???f(0)???f(6)? 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题满分12分）
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已知函数f(x)?cos2?x?3sin?xcos?x? （I）求?值及f（x）的单调递增区间；
1(??0)的最小正周期为? 2 2,B为锐角，
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a?1,b?A3，求角C的大小． f()?22
18．（本小题满分12分）
某产品按照行业生产标准分成8个等级，等级系数?依次为1，2，3，?，8，其中??5为标准A，??3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好。已知某厂执行标准B生产该产品且该厂的产品都符合相应的执行标准，从该厂生产的产品
中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
该行业规定：产品的等级系数??7的为一等品；等级系数为5???7的为二等品；
等级系数为3???5为三等品。
（I）试分别估计该厂生产产品的一等品率、二等品率、三等品率各为多少？
（II）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽取的2件产品等级系数都是8的概率。 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=BC=1，CC1=2，AC1与平面BCC1B1
所成角为30°，AB⊥平面BB1C1C。 （I）求证：BC⊥AC1；
（Ⅱ）求三棱锥A—A1B1C1的高．
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20．（本小题满分12分）
已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y?2px(p?0)上的两个动点，O
2????????是坐标原点，OA?OB?0.
（I）试判断直线AB是否过定点？若过，求定点的坐标； （Ⅱ）当弦AB的中点到直线x?2y?0的距离的最小值为 21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x?alnx,g(x)?x?ax （I）若a?R，判断函数f(x)是否有极值？若有，求出极值；若无，说明理由； （II）若函数f(x)在(1,2]上是增函数，函数g(x)在（0，1）上是减函数。
①求函数f(x),g(x)的表达式；
②证明：当x?0时,方程f(x)?g(x)?2有唯一解。
225时，求抛物线方程． 5 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E、H是边AB上的点，点K、M分别是边AC和BC上的点，且AH =AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM． （I）求证：E、H、M、K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长．
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