的直径BC的长．
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（1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，DF=
，求⊙O
参考答案与解析
1．（2016?百色）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E． （1）求证：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，易证得∠CAD=∠BDO，继而证得结论；
（2）由（1）易证得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，再利用勾股定理，求得答案． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴OA⊥AC，
∴∠OAD+∠CAD=90°， ∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA， ∵∠1=∠BDO， ∴∠1=∠CAD；
（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C， ∴△CAD∽△CDE， ∴CD：CA=CE：CD，
2
∴CD=CA?CE， ∵AE=EC=2， ∴AC=AE+EC=4， ∴CD=2
，
设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，
222
则Rt△AOC中，OA+AC=OC， ∴x+4=（2解得：x=
．
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2
2
+x），
2
∴⊙O的半径为．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△CAD∽△CDE是解此题的关键． 2．（2016?济南）（1）如图1，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS判定△ABE≌△ADF，从而求得AE=AF；
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D ∵CE=CF， ∴BE=DF
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF． ∴AE=AF；
（2）∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°． 又∵∠OPA=40°， ∴∠POA=50°，
∴∠ABC=∠POA=25°．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．同时考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径． 3．（2016?曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．
（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．
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【分析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在之间三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；
（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证． 【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人， 在Rt△ABC中，BC=13，AC=5， 根据勾股定理得：AB=∵BC与圆O相切， ∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°， ∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
=12，
∴=，即=，
解得：r=（2）∵
=
；
，∠F=2∠B，
∴∠AOE=2∠F=4∠B， ∵∠AOE=∠OEB+∠B， ∴∠B=30°，∠F=60°， ∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF， ∴CB∥AF，
∴四边形ACEF为平行四边形， ∵∠CAB=90°，OA为半径， ∴CA为圆O的切线， ∵BC为圆O的切线， ∴CA=CE，
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