数学分析(2)期末练习题答案

于是

?a?paf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.

a000x???0pap5. 若函数f(x)在[0,??)上连续,且limf(x)?A,证明lim1xf(t)dt?A.

x???x?0证明：由于limf(x)?A,任给??0,存在M?0,当x?M时,有f(x)?A?x????.又当T?M时,

2

1T1f(x)dx?A?T?0T?M?T0Tf(x)dx??Adx?0T1Tf(x)?AdxT?0M111??Mf(x)?Adx?f(x)?Adx?f(x)?Adx?1?T?0T?MT?02?T??,??

所以取T1?max???2M0f(x)?Adx,2M,注意到0?1??M?1,则当T?T1时,就有 T1T??f(x)dx?A????, T?022故lim1T1x,即就是f(x)dx?Alimf(t)dt?A.

T???T?0x???x?06. 利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。 证明：设{xn}单调有界，不妨设{xn}单调增加。

假定{xn}不收敛，则由Cauchy收敛原理，存在常数?0?0,?m,n?N (m?n)， xm?xn??0，于是

令N?1，存在m1,n1?1(m1?n1),xm1?xn1??0， 再令N?n1,存在m2,n2?n1(m2?n2),xm2?xn2??0， 一般地令N?nK?1,存在mk,nk?nk?1(mk?nk),xmk?xnk??0， 这样得到{xn}的一个子列：xm1,xn1,xm2,xn2,?,xmk,xnk,? 满足：xmk?xnk??0。从而有xnk?xmk??0，xnk?xmk??0

(k?2,3,)，由此式递推可知：

xnk?xnk?1??0?xnk?2??0??0??xn1?(k?1)?0???,

因而{xn}无界，与条件矛盾，故{xn}收敛。

7. 设f(x)在[a,??)（a?0）上满足： ?x,y?[a,??)，

|f(x)?f(y)|?K|x?y|，其中（K?0为常数）。

证明： （1）（2）

f(x)在[a,??)上有界； xf(x)在[a,??)上一致连续。 x证明：（1） 由条件知，?x?[a,??),|f(x)?f(a)|?K|x?a|， 故：|f(x)|?|f(x)?f(a)|?|f(a)|?K|x?a|?|f(a)|，

f(x)|f(a)||x?a||f(a)|x?a|f(a)|?K??K??K?， x|x||x|xxaf(x)在[a,??)上有界。 x 可见，

（2） 对?x1,x2?[a,??)，

f(x1)f(x2)|x2f(x1)?x1f(x2)||x2f(x1)?x2f(x2)?x2f(x2)?x1f(x2)|??? x1x2x1x2x1x2?x2|f(x1)?f(x2)||f(x2)|?|x2?x1|?

x1x2x1x2K1|f(a)|?2K|f(a)|?|x1?x2|?(K?)|x1?x2|????|x1?x2|， 2?aaaaa???对???0，取???[2aK?f(a)a2]，对?x1,x2?[a,??)，当|x1?x2|??时，有

f(x1)f(x2)???， x1x2故由一直连续定义可知函数

f(x)在[a,??)上一致连续。 x8. 若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积,证明

??f(x)?ab2dx???g(x)?dx?ab2??baf(x)g(x)dx.

?222证明：函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积,于是函数f(x),g(x)及f(x)g(x)在[a,b]上可积,从而,对

任何实数t,函数?f(x)?tg(x)?可积,又?f(x)?tg(x)??0,故

22?a?f(x)?tg(x)?b2dx?0.即

?a?f(x)???f(x)?ab2b2b2dx?2t?f(x)g(x)dx?tab2?a?g(x)?b2dx?0

2上式右边是t的二次三项式,故其判别式??4即

??baf(x)g(x)dx?4??2?f(x)?abdx???g(x)?dx?0,

ab2dx???g(x)?dx?a??baf(x)g(x)dx.

?29. 试用有限覆盖定理证明区间套定理. 证明：设??an,bn??为区间套,要证??,使an???bn(n?1,2?)。

用反证法:假设?x??a1,b1?都不是??an,bn??的公共点,于是?nx,使得x?anx,bnx， 因而?x?0,U(x;?x)??U(x;?x),x??a1,b1??， ?anx,bnx????。 设 H??它是?a1,b1?的无限开覆盖，由有限覆盖定理，?U(xi;?xi)i?1,2,现取n?maxnxi，?an,bn?1?i?n???,n?H，就能覆盖?a1,b1?。

???ni?1U(xi,?xi)??，而?U(xi,?xi)??a1,b1?，这与?an,bn???a1,b1?相

i?1aan矛盾。由此可知，??，使an???bn,n?1,2,?. 10. 若函数f(x)在[?a,a]上可积,且为偶函数,证明证明：

??af(x)dx?2?f(x)dx.

0?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx,函数f(x)为偶函数,于是f(?x)?f(x).从而

?a00a?于是

0?af(x)dx?0?ax??t?0aaf(?t)d(?t)??f(t)dt??f(x)dx,

00a0aa?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?2?f(x)dx.

011. 若函数f(x)在[a,b]上可积,证明函数?(x)??xaf(t)dt,x?[a,b]在[a,b]上连续.

证明：对[a,b]上任一确定的x,只要x??x?[a,b],就有

????x??xaf(t)dt??f(t)dt??axx??xxf(t)dt.

由于函数f(x)在[a,b]上可积,故有界,可设f(x)?M,x?[a,b].于是,当?x?0时,就有

????x??xxf(t)dt???x?0x??xxf(t)dt?M?x,

而当?x?0时,就有???M?x,由此得到lim???0,即证得?(x)在点x上连续.由x的任意性,

?(x)在[a,b]上连续.

12. 证明若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界。

证明：由连续函数的局部有界性，对每一点x??[a,b]，都存在邻域U(x?,?x?)及正数Mx?，

使得f(x)?Mx?,x?U(x?,?x?)[a,b]。考虑开区间集 H?U(x?,?x?)x??[a,b]， 显然H是[a,b]的一个开覆盖，于是存在H的一个有限子集

??H*?U(xi,?xi)xi?[a,b],i?1,2,覆盖了[a,b]，且存在正数M1,M2,?k

?,Mk，使得对一切x?U(xi,?xi)[a,b]，有

f(x)?Mi,i?1,2,1?i?k,k，

令M?maxMi，则对任何x?[a,b]，x必属于某U(xi,?xi)?f(x)?Mi?M。 所以函数f(x)在[a,b]上有界。

13. 证明若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值。

证明： 由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，于是f(x)在[a,b]上有界，由确界原理，f(x)的值域f([a,b])有上确界，记为M。假设对一切x?[a,b]都有f(x)?M，令

g(x)?1,x?[a,b]，

M?f(x)函数g(x)在[a,b]上连续，故g(x)在[a,b]上有界，设G是g(x)的一个上界，则

0?g(x)?1?G,x?[a,b]；

M?f(x)从而f(x)?M?1,x?[a,b]，但这与M为f([a,b])的上确界矛盾。 G所以存在??[a,b]，使f(?)?M，即f(x)在[a,b]上有最大值。

14. 证明级数

?(?1)n?1n?n2sin条件收敛。

n??222(n??)，而?发散，于是级数?(?1)nsin发散。 nnnn?1n?12证明：因为 (?1)sinn?222n又sin单调递减且limsin?0，由莱布尼茨判别法可知级数?(?1)sin条件收敛。

n??nnnn?1??15. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且单调增加,

?1xf(t)dt,x?(a,b],?F(x)??x?a?a

?x?a,?f(a),