第33讲 双曲线
1．双曲线的概念
把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. 说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 图形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫实虚轴 作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是x2或y2的系数．若x2系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 3．双曲线与椭圆的区别
(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；
(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)； (3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2， c＞a．
[玩转典例]
题型一 双曲线的定义和标准方程
例1 (1)设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
y2x2
(2)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )
1612y2x2y2x2y222
A．x－＝1 B．y－＝1 C. －＝1 D. －x＝1
31223
2
2
[玩转跟踪]
1．(安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( ) y2
A．x－4＝1
2
x22
B.4－y＝1 x22
D.2－y＝1
y2
C．x－2＝1
2
x2y2
2．(天津，5)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( ) x2y2
A.9－13＝1 x22
C.3－y＝1
x2y2
B.13－9＝1 y2
D．x－3＝1
2
x2y2
3．(天津，6)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) x2y2
A.5－20＝1 3x23y2
C.25－100＝1
x2y2
B.20－5＝1 3x23y2
D.100－25＝1
题型二 双曲线的离心率
x2y2
例2 (1)已知双曲线2－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
a3A．2 B.
65 C. 22
D．1
x2y2
(2)若双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心
ab率为( ) A. 5 [玩转跟踪]
B．5 C. 2
D．2
x2y2
1．(湖南，6)若双曲线a2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) 7A.3
5
B.4
4
C.3
2
5D.3
y2
2．(四川，7)过双曲线x－3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) 43A.3
B．23
C．6
D．43
x22
3．(浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：4＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) A.2
B.3
3
C.2
6D.2 x2y2
4．(福建，5)已知双曲线a2－5＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) 314
A.14
32B.4
23
C.2 4D.3
5.（2019天津理5）已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线
x2y2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为2ab原点），则双曲线的离心率为
A.2 B.3 C.2 D.5 题型三 双曲线的渐近线
相关推荐：
loading