2008年二轮复习高中数学方法讲解：2直接法
直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这种解法叫直接法。从题设条件出发,运用相关知识，通过计算、推理分析或判断，直接得出结论。直接法是解选择题最常用的方法，从2004年全国各地的高考数学试题来看，绝大多数选择题都适宜用直接推算法解决。
?x2?bx?c,x?0,若f(?4)?f(0)，例1．（2004湖南）设函数f(x)??x?0?2,f(?2)??2，则关于x的方程f(x)?x的解的个数为( )。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2解：由f(?4)?f(0)??-4??b???4??c?c,○1
2 f(?2)??2???2??b???2??c??2， ○2
?x2?4x?2,x?0解得：b?4,c?2，∴f(x)??
x?0?2,x?0当时，由
f(x)?x得
x2?4x?2?x?x2?3x?2?0?x??2或x??1；
当x?0时，由f(x)?x得x?2
综上f(x)?x有三个解，故选C.
评析：本题考查分段函数方程的求解问题，采用待定系数法，求出函
数f(x)的解析式，通过求出解的具体值作出判断。 例2．（2004江苏）设k?1,f?x??k(x?1)(x?R)，在平面直角坐标系A点，它的反函数y?f?1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点。已知四边形OAPB的面积是3 ，则k等于( ).
A. 3 B. C. D. 解：由题意可知y?f(x)图象恒过点A(1,0)， y 则y?f?1(x)恒过B(0,1)点，点P在y?x上， 设P(x0,y0)，由k?1知x0?1，
B 则SOAPB?x0?1?3?x0?3?P(3,3)
?k?3?03?，故选B. 3?12O A xoy中，函数y?f(x)的图像与x轴交于
324365y?f(x) y?f?1(x)
P 评析：该题是一道在考查函数与反函数性质的同时， 融代数、几何、解析几何计算为一体的直接
x 推算型选择题。准确掌握“函数与其反函数的图像关于直线y?x
对称”这一重要性质，是实施顺利推断和准确计算的关键所在。 例3．（2004全国Ⅱ）函数y?sin4x?cos2x的最小正周期为 A． B． C．? D．2?
1?cos2x21?cos2xcos22x?3)??解：（法1）y?(，可知应选B。 224（法2）y?sin4x?1?sin2x?sin2x(sin2x?1)?1??sin2xcos2x?1
?4?2sin22x?1，可知应选B。 ??4评析：本题由于将cos22x或sin22x降次后，x的系数将变为4，便知周
?期为。直接计算时应尽可能简化步骤，合理跳步，以减少解
2题的计算量，提高解题速度。
例4．（2004天津）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB?6,AD?4,AA1?3。分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1?VAEA?DFD,V2?VEBEA?FCFD,V3?VBEB?CFC。若V1:V则截2:V3?1:4:1,1111111111面A1EFD1的面积为（ ）。
A．410 B. 83 C. 413 D. 16
解：由V1:V2:V3?1:4:1
又
?(V1?V3):V2?2:4=1:2， （V1?V3）：V2?AE：EB=1：2?AE=2，EB=4?A1E=AA?AE?2?3?1321222D1F1C1A1DFE1B1CAEB ?SA1EFD1?A1EEF?13?4?413，故选C。
评析：立体几何中求表面积、体积一类题目，应注意在熟记有关公式的基础上，培养学生的图形识别能力，以便合理地进行计算。在
解题技能上，注意领会割补法的有效运用。
求曲线方程的五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0 (4)化方程f(x，y)=0为最简方程
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点． 除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ，θ)的等式，我们称此为“直译法”．
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。
【例1】（96年高考题）若sin2x>cos2x,则x的取值范围是______。 A．{x|2k?－
?3? ?5? 44 C. {x|k?－ 3?,k?Z} 4?4?4?4【解】直接解三角不等式：由sin2x>cos2x得cos2x－sin2x<0,即cos2x<0，所以： ＋2kπ<2x< ?23?＋2kπ，选D； 2【例2】（96年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于______。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B。 也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2?y2?1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数????0?（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N， 则有 MNMQ??， 22即 MO?ONMQ??，
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