∴cos θ＝
|n1·n2|
|n1||n2|
＝
13＋1＋(3－λ)
2
＝1
(λ－3)
2
.(11分) ＋4
π1
∵0≤λ≤3， ∴当λ＝3时， cos θ有最大值， ∴θ的最小值为. (12分)
23(20)(本题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，离心率为(Ⅰ)求椭圆C的方程；
2
，圆E：(x－1)2＋y2＝1的圆心是椭圆C的一个焦点． 2
(Ⅱ)如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P，使|MN|＝
14？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3
x2y2
【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab且半焦距c＝1. 因为椭圆的离心率为从而
2c2
，则＝，即a＝2c＝2.(3分) 2a2
x2
C的方程为＋y2＝1.(4分)
2
b2＝a2－c2＝1，故椭圆
(Ⅱ)设点P(x0，y0)(x0<0)，M(0，m)，N(0，n)，
y0－m
则直线PM的方程为y＝x＋m，即(y0－m)x－x0y＋mx0＝0.(5分)
x0因为圆心E(1，0)到直线PM的距离为1，则
＝1，
（y0－m）2＋x20
|y0－m＋x0m|
2222
即(y0－m)2＋x20＝(y0－m)＋2x0m(y0－m)＋x0m，即(x0－2)m＋2y0m－x0＝0.
同理，(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0.(6分)
由此可知，m，n为方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个实根， 所以m＋n＝－
2y0x0
，mn＝－.(8分) x0－2x0－2（m＋n）2－4mn＝
4y24x00
＋＝2
（x0－2）x0－2
2＋4y2－8x4x000
. 2
（x0－2）
|MN|＝|m－n|＝
x2x20022
因为点P(x0，y0)在椭圆C上，则＋y0＝1，即y0＝1－，则
22
|MN|＝
令
2x20－8x0＋4
＝（x0－2）22（x0－2）2－4
＝（x0－2）2
4
2－.(10分) （x0－2）2
4142－＝，则(x0－2)2＝9.因为x0＜0，则x0＝－1.
3（x0－2）2
2
2
y0＝±
22??.故存在点P－1，±满足题设条件．(12分) 22??
x2102y0＝1－＝，即(21)(本题满分12分)
11已知函数f(x)＝ax2－2ax＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，且x1·x2>.
22(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)设上述a的取值范围为M，若存在x0∈1＋
?
?2?
不等式f(x0)＋ln(a＋1)>m(a2，2，
2?使对任意a∈M，
－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立，求实数m的取值范围．
1ax2－2ax＋1
【解析】(Ⅰ)f′(x)＝ax－2a＋＝(x>0)．(1分)
xx令f′(x)＝0，则ax2－2ax＋1＝0.
a≠0，
??Δ＝4a－4a>0，
据题意，方程有两个不等正根，则?(3分)
1xx>??2，
2
12
a（a－1）>0，??
即?11解得1＜a＜2. 故实数a的取值范围是(1，2)．(4分)
>，??a2(Ⅱ)由ax2－2ax＋1>0，得a(x－1)2>a－1.即x<1－所以f(x)在?－∞，1－
1??
1－和1＋a??
1
1－或x>1＋a
11－. a
?
1?1－，＋∞上是增函数． a?
因为1＜a＜2，则1＋当x∈1＋
122??1－<1＋，所以f(x)在1＋，2 上是增函数．
a22??
?
?2?，2时，f(x)max＝f(2)＝－2a＋ln 2.(6分) 2?
据题意，当a∈(1，2)时，f(x)max＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立， 即－2a＋ln 2＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立， 即ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2>0恒成立． 设g(a)＝ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2，
1
a＋1＋?－2am?2m??1
则g′(a)＝－2ma－1＝.(8分)
a＋1a＋1
(1)当m≥0时，因为a∈(1，2)，则g′(a)<0，所以g(a)在(1，2)上是减函数． 此时，g(a)＜g(1)＝0，不合题意．(9分)
111
(2)当m＜0时，若1＋≥－1，即m≤－，因为a∈(1，2)，则a＋1＋>0，g′(a)>0，
2m42m
所以g(a)在(1，2)上是增函数. 此时，g(a)＞g(1)＝0，符合题意．(10分)
11111
1＋?>1.当1 ?1＋1??上是减函数. 此时，g(a)＜g(1)＝0，不合题意． g(a)在?1，－??2m?? 1 －∞，－?.(12分) 综上分析，m的取值范围是?4?? 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 (22)(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρ cos θ＋3＝0，θ∈[0，2π). (Ⅰ)求C1的直角坐标方程； ，?x＝t cosπ6 (Ⅱ)曲线C的参数方程为? (t为参数)．求C与C的公共点的极坐标． π ?y＝tsin6 2 1 2 222??ρ＝x＋y， 【解析】(Ⅰ)将?代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0得：(x－2)2＋y2＝1.(4分) ??ρcos θ＝x π (Ⅱ)由题设可知，C2是过坐标原点，倾斜角为的直线， 6因此C2的极坐标方程为θ＝ π7π 或θ＝，ρ>0，(6分) 66 π 将θ＝代入C1：ρ2－23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝ 3. 6 7π 将θ＝代入C1：ρ2＋23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝－3，不合题意． 6π 故C1，C2公共点的极坐标为?3，?.(10分) 6??(23)(本题满分10分)选修4—5 不等式选讲 设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. (Ⅰ)求f(x)≤x＋2的解集； |a＋1|－|2a－1| (Ⅱ)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围． |a|【解析】(Ⅰ)由f(x)≤x＋2得： x＋2≥0，x＋2≥0，x＋2≥0，???????x≤－1，或?－1 ∴f(x)≤x＋2的解集为{x|0≤x≤2}．(5分) |a＋1|－|2a－1|???1??1???11(Ⅱ)?＝??1＋a?－?2－a??≤?1＋a＋2－a??＝3. |a|??11 1＋??2－?≤0时，取等号． 当且仅当??a??a? 由不等式f(x)≥|a＋1|－|2a－1| 对任意实数a≠0恒成立，可得|x－1|＋|x＋1|≥3， |a| 33 解得：x≤－或x≥. 22 33 －∞，－?∪?，＋∞?.(10分) 故实数x的取值范围是?2??2??
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