勾股定理（毕达哥拉斯定理）
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2 + b2= c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么勾股定理的逆定理
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足【证法1】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
，那么这个三角形是直角三角形。
。
1ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 2∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
.
∴ ∴
【证法2】（课本的证明）
.
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.
即， 整理得 .
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于AD∥BC.∴
.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ . 把这两个直角三角形拼成如图所示形
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴ .∴.
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，
有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于
，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的
面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =
.同理可证，矩形MLEB的面积 =
.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴
，即
.
【证法5】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB， 从而有
.∴
，即
.
【证法6】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于∴
.∴
.
.
.
【证法7】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，
交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上， 所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=
=
=
，
即，∴ .
【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴
= ∴ 即 ∵ ∴
=
∴ ∴ ∴
.
，
，
，
，又∵
=
，∴
= ，
=
= r + r = 2r,即
，
，
，∴
.
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