1A． 85C． 8
3B． 87D．
8
解析：选D 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝1＋17
16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝．
168
5．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
解析：先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．
答案：2n(n－1)
6．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．
解析：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143,3142,4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应着3种填法，因此共有填法为3×3＝9(种)．
答案：9
7．某校高二共有三个班，各班人数如下表．
高二(1)班 高二(2)班 高二(3)班
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3
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男生人数 30 30 35 女生人数 20 30 20 总人数 50 60 55
类不同的方案：
第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．
(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？
解：(1)因为集合A中的每个元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．
(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．
所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．
第二课时 两个计数原理的综合应用
选(抽)取与分配问题
[典例] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
[解] 由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类： 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法． 第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法． 第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋12＝20(种)选法．
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
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①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[活学活用]
1．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．
解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；
第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法． 答案：31
2．图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有________种不同的分法．
解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法．所以不同分法有8×7×6＝336种．
答案：336
用计数原理解决组数问题
[典例] 用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
[解] (1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
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组数问题的常见类型及解决原则
(1)常见的组数问题
①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”； ②在某一定范围内的数的问题； ③各位数字和为某一定值问题； ④各位数字之间满足某种关系问题等． (2)解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． [活学活用]
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )
A．24 C．12
B．18 D．6
解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1 解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个； 当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得： 当中间数为4时，有3×4＝12个； 当中间数为5时，有4×5＝20个； 当中间数为6时，有5×6＝30个； 当中间数为7时，有6×7＝42个； 当中间数为8时，有7×8＝56个； 当中间数为9时，有8×9＝72个． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个． 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
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