高考数学 导数、数列压轴题的破解策略 构造函数在高考题导数中的应用

构造函数在高考题导数中的应用

例题已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，a∈R． (I)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)当x?1时，f(x)≤(I)解（略）。 (Ⅱ) 解：

lnx恒成立，求a的取值。 x?1lnxxlnx?a(x2?1)方法1：f(x)??

x?1x?1令g(x)?xlnx-a(x2-1) (x?1)

g?(x)?lnx?1?2ax,令F?(x)?g?(x)?lnx?1?2ax,

F?(x)?1?2ax, x(1)若a?0,F?(x)?0,g?(x)在?1，???递增，g?(x)?g?(1)?1-2a?0 ?g(x)在?1，???递增，g(x)?g(1)?0,

lnx ?0,不符合题意。x?1111 （2）若0?a?,当x?(1,),F?(x)?0,?g?(x)在（1，)递增，22a2a从而f(x)-从而g?(x)?g?(1)?1-2a,以下论证同（1）一样，所以不符合题意。

（3）若a?1 ,F?(x)?0, 在?1，???恒成立，2?g?(x)在?1，???递减，g?(x)?g?(1)?1-2a?0

从而g(x)?g(1)?0,f(x)-lnx?0 x?1?1?综上所述：a的取值范围是?，???

?2?方法2：解当x?1时f(x)?令h(x)?lnx-h?(x)?lnxlnx恒成立等价于lnx-?a(x-1)

x?1x?1lnxxlnx?, g(x)?a(x-1) x?1x?1x?1?lnx , ?x?1, ?h?(x)?0,即h(x)在?1，???是增函数。(x?1)2

g?(x)?a,?当a?0时，g(x)在?1，???是增函数。

又?h(1）?g(1)?0

?h(x)?g(x)(x?1)恒成立，只需h?(1)?g?(1)

即1?a 2方法3：解当x?1时f(x)?lnxlnx恒成立等价于lnx-?a(x-1)

x?1x?1(1)当x?1时，显然恒成立，?a?R

lnxlnxlnx??lnx(2)当x?1时，上式等价于?2?a???2??a

x-1x-1?x?1x?1?maxlnxlnxx2-1-lnx-x2lnx 令F(x)??,则F?（x）?22x-1x2-1x-1??x2-1-2x2lnx令g(x)?x-1-lnx-xlnx,则g?(x)?

x22令h(x)?x2-1-2x2lnx,则h?(x)?-4xlnx

?x?1,?h?(x)?0,那么h(x)在（1，??）是减函数。有h(x)?h(1)?0 ?g?(x)?0,有g(x)?g(1)?0,依此类推F?(x)?0，F（x)在?1，???是减函数

?F(x)?lim?F(x)?lim?x?1x?1?xlnx???x2?1???lim?x?11?lnx11?,即?a 2x22?1?综上所述：a的取值范围是?，???

?2? 从该例题的一题多解中我们可以看出：构造函数是处理导数题的重要方法，也是解决导

数的重要途径，通过不断地构造函数把我们遇到的拦路虎一个个的克服掉，最终解决这类问题。因此要求我们在平时练习中能够体会构造函数的数学价值。