分式方程及应用
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验
根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有 和 。 （二）：【课前练习】 1. 把分式方程
11?x??1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） x?22?xA．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
23??2的根是（ ） xx?111 A.－2 B. C.－2， D.－2，1
2212mx?13. 当m=_____时，方程?2的根为
m?x22. 方程4. 如果
AB5x?4，则 A=____ B＝________. ??2x?5x?2x?3x?10ax?1??3有增根，则增根为_____，a=________. x?2x?25. 若方程
二：【经典考题剖析】
2xx52?x11 1. 解下列分式方程： （）1??1；（2）??1；（ 3）??；xx?32x?55?2xx?32x?3x?2x2?13(x?1)1??1??（4）x??；（5）?2?4；（6）2?x2?2??3?x???1x?22?xx?1x?1x??x??
分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别
1x2?1设y?，y?x?，解后勿忘检验。
xx?1[来源:学*科*网][来源:学*科*网]
?111?x?y?311?2. 解方程组：? 分析：此题不宜去分母，可设＝A，?＝B得：
xy?1?1?2??xy91?A?B???3，用根与系数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。 ??A?B??2?9?3. 若关于x的分式方程
[来源:Z|xx|k.Com]
2m6?x??2有增根，求m的值。 x?2x?2x?44. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年
3
12月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．
33
解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根
据题意，得
3618??6， 解得x=1.8(1?25%)xx[来源:Zxxk.Com]
经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1?25%)x?2.25 ．
答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关
3
键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m.
5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x?60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。 三：【课后训练】 1.方程
3
1x?1??1去分母后，可得方程（ ） xx?12222 A?2x?x?1?0;B?x?2x?0;C?2x?x?1?0;D?x?2x?2?0 2.解方程
222?1?x?x，设y?x2?x，将原方程化为（ ） 2x?x222 A?y?1?0;B?y?y?2?0;C?2y?y?0;D?y?y?2?0
3. 已知方程
ax26??1的解与方程=3的解相同，则a等于（ ） a?1x?1xA．3 B．－3 C、2 D．－2 4. 方程
10311??的解是 。x?24x?3[来源:Z,xx,k.Com]
5. 分式方程
xkx???0有增根x=1，则 k的值为________ x?1x?1x?1x+1x?1的x值是（ ） ?x-2x?26. 满足分式方程
A．2 B．－2 C．1 D．0 7. 解方程： (1)x?13x?31123x5 ??2;(2)??1;(3)??x?1x?1x?1x?1x?11?x1?x225x2x?83x?x211?x?(4)??6?0;(5)2?? ??x?3xx?43?x?1?x?18. 先阅读下面解方程x＋x?2＝2的过程，然后填空.
解：（第一步）将方程整理为x－2＋x?2＝0；（第二步）设y＝x?2，原方程可化为y＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时， （第五步）所以 x?2＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x?2＝－1，方程无解；
x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，能够判定方程2
x?2＝－1无解原根据是 。上述解题过程不完整，缺少的一步
是 。
9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数． 10. 2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速． 四：【课后小结】
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