高三数学第二轮专题复习系列(8)——圆锥曲线

v1.0 可编辑可修改 高三数学第二轮专题复习系列(8)——圆锥曲线

一、知识结构 1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.

点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线 C上?f(x0,y 0)=0；

点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0

两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?

f2(x0,y0) =0

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义：

点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程： (1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r (2)一般方程

当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0

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v1.0 可编辑可修改 D2?E2-4FDE22

叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化

222D2E2D2?E2-4F为(x+)+(y+)=

422当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2

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DE,-); 22当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则

｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内， 其中｜MC｜=(x0-a)?(y0-b). (3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=

22Aa?Bb?CA?B22与半径r的大小关系来判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线

椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

曲线 椭 圆 性质 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜轨迹条件 =2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 双曲线 抛物线 圆 形 x2y2标准方程 +=1(a＞b＞0) a2b2x2y2-=1(a＞0,b＞0) a2b2y2=2px(p＞0) 2第 2 页 共 56 页

v1.0 可编辑可修改 A1(-a,0),A2(a,0); 顶 点 B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴x=0,y=0 对称轴x=0,y=0 轴 长轴长：2a 实轴长：2a 虚轴长：2b 短轴长：2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦 点 焦点在长轴上 ｜F1F2｜=2c， 焦 距 c=a2-b2 c=a2?b2 焦点在实轴上 ｜F1F2｜=2c, F1(-c,0),F2(c,0) F(对称轴y= A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) P，0) 2焦点对称轴上 a2x=± c准 线 准线垂直于长轴，且在椭圆外. 离心率 e=a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-p 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. c,0＜e＜1 ae=c,e＞1 ae=1 4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

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