北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
课时分层训练（二十六）平面向量的概念及线性运算
A组基础达标
、选择题
1 ?给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若
a, b都是单位向量，则a =
）
b；③向量ABf BA相等.则所有正确命题的序- 号是 （
A. C.①③
① B.③ D.①②
A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等， 但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量
ABf BA互为相反向
量，故③错误.]
2. （2018 ?武汉调研）设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是
（ ）
【导学号：79140147】
A. a与一入a的方向相反 B. | —入 a| >1 a| C. a与入a的方向相同 D. | —入 a| >| 入 | a
C [A中，当 入v 0时，a与一入a方向相同，故 A不正确；B中，当一1v入v 1时,
2 2
| —入a| v | a|，故B不正确；C中，因为入〉0，所以a与入a方向相同，故C正确; D中，向量不能比较大小，故 D不正确，故选 C.]
3. （2 017 ?广东东莞二模)如图 4-1-1 所示，已知 AC= 3BC OA= a, OB= b, OC= c,则下列
等式中成立的是（
1
A. c=2b— 2a B. c = 2b— a C. c = 2a— b 3 1 D. c=2a— 2b
3
图 4-1-1
-> -> -> -> -> 3~-> 3 ~> -> 3 ~
［因为AO 3BC OA= a, OB= b,所以 OC= OAF AC= OAF~AB= OA^^(OB^ OA = ?OB
->
1
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—2。\2b_ 2a，故选 A.】
4. （2017 ?全国卷n ）设非零向量 a, b满足|a+ b| = |a— b|，则（
A. aLb
）
B. D.
|a| = |b| |a| > |b|
C. a //b
A [法一：'■-1 a+
'1 a+ b| = | a — b| , ? b|2： ??
2 2
…a + b + 2a -b= a + b — 2a -b.
=|a — b|2
/. a -b = 0. /. aLb.
故选A.
法二：在？ABCD^，设 AB= a, AD= b,
由 |a+ b| = | a— b| 知 | AC = | DB ,
从而四边形 ABC西矩形，即 ABLAD,故a±b.故选A.]
5. （2017 ?河南中原名校 4月联考）如图4-1-2所示，矩形 ABCD勺对角线相交于点
若D—入AB+卩 AO的中点,
2
=（）
A.5
B.4 C
D.
届
3
卩一4，
5
故入+卩=~ ,故选A.]
8
2
2
二、填空题
6.已知Q为四边形 ABCD^在平面内一点， 且向量QA QB QC QD满足等式OAFQC= Q聊QD
则四边形ABCD勺形状为 平行四边形
[由 QAF OC= A聊 ODeOA- OB= OD- OC
所以血=CD所以四边形 ABC曲平行四边形.]
7.（2015 ?全国卷n ）设向量 a , b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数 入= _________
1 一
2 [ ???入 a+ b与 a+ 2b平行，/?入 a+ b= t（a+ 2b）,
2
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A [ DE= ^DA^ 2DQ= 2陥 4DB= 2陥 ^(DAF AB = ^AB- [AD 所以 入=1 , 2 2 2 4 2 4
2 1
=3a
+3b?
10. 设e1, ei是两个不共线的向量，已知 AB= 28 — 8ei, (1) 求证：A, B, D三点共线；
3
4 4 SB= 8 + 3ei, 4
SD= 2e— ei.
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b= t a+ 2t b,「.
入=t , 即入 a+ 1 = 2t ,
1
&在△ ABC中，点 MN满足AM= 2MCBN= NC若MN= xAB+ yAC 则 x =
1 1
-> -> -> 2->
o2
- [
I AM6
k 2MC ??? AM^-AC
3
??? MN= AN- AM= 1(AB+ AC -|AC
=lAB-6AC
->
->
->
1 1
又MN= xAB+ yAC, ? x = | , y =- g.] 三、解答题
9?如图4-1-3 ,在厶ABC中, D, E分别为BC AC边上的中点,
—> —> —> —>
设AB= a, AC= b,试用 a, b 表示 AD AG
图 4-1-3
[解]AD= |(AB+ AC = ?a+|b.
T T T TAG= AB+ BG= AB+ 2 T T 1 T
3
;BE= AB+ 3
-( BA
=1 3AB+ 3(AC- AB
(2) 若BF= 3e— kei,且B, D, F三点共线，求k的值.
4
【导学号：79140148】
G为 BE上一点，且 GB= 2GE
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［解］(1)证明：由已知得 BD= CD- CB= (2 ei — e2)— (ei + 3e2)= ei — 4e2,
T AB= 2ei — 8e2,「? AB= 2BD
又?/ AB! BD有公共点 B,
??? A, B, D三点共线.
(2)由(1)可知BD= ei-4e2,
??? BF= 3ei- ke2，且 B D, F 三点共线，
? - BF=入 BD 入 � R), 即 3ei — ke2=入 ei — 4 入 e2, 入=3, 即￡
—k =— 4 入.
解得k= i2.
B组能力提升
A i A
ii.
(20I7 ?河北衡水中学三调考试
)在厶ABC中, AN= 4NC若P是直线BN上的一点，且满
)
【导学号：79I40I49】
足AP= mA+ |AC；则实数 m的值为(
A.— 4 C. i
B.— I D. 4
B ［根据题意设 BP= nBN(n� R)，则 AP= AB+ 命=AB+ nBN= AB+ n(AN-AB) = AB+
—n )AB+ AC 又 AP= mA+ AC
5
5
-> n->
A A 2 A
1 — n=
m
n= 2,
解得/
?- n 2
5 = 5,
m=—
故选B.]
12.设0在厶ABC的内部，D为AB的中点，且OA+ 触2(3(= 0,则厶ABC的面积与△ AOC的 面积的比值为( A. 3 B . 4 C . 5
)
D. 6
.. ~A 1 ~A -A -A -A -A
B ［如图，T D为 AB的中点，贝U OD= |(0阳 OB，又 OA^ OBb 20(= 0,
5
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