2－1≤（0－a＋1）2＋（0－a－2）2≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.
→→→→→→→→→→→→→
解法2(基底法求轨迹) 3＝MA·MB＝(MO＋OA)·(MO＋OB)＝(MO＋OA)·(MO－OA)＝MO2－OA2＝MO2
→
－1，所以|MO|＝2，所以点M在以O为圆心，2为半径的圆上．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤（0－a＋1）2＋（0－a－2）2≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.
→→111→2→2→2
解后反思 解法2的本质是极化恒等式：3＝MA·MB＝＝＝＝MO－OA＝MO－1.其中极化恒等式：
4441a·b＝a＋b)2－(a－b)2]，a，b为共起点的两个向量，此公式源于2016年江苏高考第13题的应用．
4
【变式1】(2019无锡期末）已知点 P 在圆 M: (x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上， A，B为圆C: x2 ＋(y－4)2 →→
＝4上两动点，且AB ＝23， 则 PA·PB的最小值是________．
【答案】 19－122
→→→→→→→→→→→→
【解析】设弦AB 的中点为D，则PA＝PD＋DA，PB＝PD＋DB，所以PA·PB＝(PD＋DA)·(PD＋DB)＝→→→→→→→
PD2＋PD·(DA＋DB)＋DA·DB＝PD2－3因为|CD|＝|AC|2－
?|AB|?＝1，所以点D在以C为圆心，1为?2?
2半径的圆上故PDmin＝MCmin－CD－PM＝MCmin－2又因为|MC|＝（a－0）2＋2＝2a2－12a＋36＝→→
2（a－3）2＋18≥32故|PD|≥32－2，所以 PA·PB≥(32－2)2－3＝19－122.
【变式2】(2019苏州三市、苏北四市二调） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2＋y2＝4→→→
上，且AB＝22，点P(3，－1)，PO·(PA＋PB)＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为________．
1
【答案】1，
5
→→→
【解析】思路分析 设出点M坐标为(x0，y0)，由弦长AB＝22求得OM，条件PO·(PA＋PB)＝16通→→
过向量的线性运算转化为2PO·PM＝16，通过上述两个条件，建立方程组，解得x0的值．
2
设M(x0，y0)，由AB＝24－OM2＝22，得OM2＝x20＋y0＝2.
→→→→→→→
又PO·(PA＋PB)＝2PO·PM＝16，所以PO·PM＝(－3，1)·(x0－3，y0＋1)＝－3x0＋y0＋10＝8，
22??x0＋y0＝2，1由?解得x0＝1或.
5??y0＝3x0－2，
1
所以x0的所有值为1，.
5
【变式3】(2019苏锡常镇调研（二））如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，以
uuuruuur8uuuruuurAB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若AB?AQ＝，则AQ?CP3的最小值为 ．
【答案】?25. 3【解析】解法1：以O为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(?1,?2)，则直线BC:y?x?1，因为点Q在BC上，所以可以设Q(t,t?1)，则AB?AQ?(2,0)?(t?1,t?1)?2t?2?所以t?
因为半圆O:x?y?1,y?0，点P在半圆O上，可设P(cos?,sin?)，0????，则
228，3112，则Q(,?) 333422425AQ?CP?(,?)?(1?cos?,2?sin?)??sin??cos???sin(???)，其中tan??2，且
333330????2.所以当?????2时，AQ?CP取得最小值为?25. 3解法2：同解法1得Q(,?)，半圆O:x?y?1,y?0，因为点P在半圆O上，所以设P(x,y)，则
132322
424242AQ?CP?(,?)?(x?1,y?2)?x?y，令z?x?y，即4x?2y?3z?0，则直线
333333所以当直线l与半圆O相切时，l:4x?2y?3z?0与半圆O有公共点，
?3z42?(?2)2解得z???1，
25（正3值舍去）；当直线l经过点(1,0)时，z?
254. ，所以AQ?CP取得最小值为?33
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