教学设计案例 21.2 解一元二次方程
第1课时 直接开平方法
一、内容和内容解析
（1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程
（2）内容解析：
一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。
本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。
二、目标和目标解析 1.目标：
(1)理解一元二次方程降次的转化思想
(2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．
2.目标解析
达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2
=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。
三、教学问题诊断分析 在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。
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然后，对需要合理变形转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）形式可以直接开平方的方程，学生在以前的学习中没有类似的经验，可能会出现思维障碍。
基于以上分析本节课的教学难点是：把不能够直接开平方的方程转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）形式的转化方法与技巧。
四、教学支持条件分析
利用多媒体技术，提供丰富的学习内容。 五、教学过程设计 （一）情境引入
导语：上节课我们主要学习了一元二次方程和相关的概念，那么今天这节课我们一起来研究如何解一元二次方程。
师生活动：点题，板书课题
设计意图：开门见山明确本节课内容。 （二）学习目标
教师追问1：首先我们看一下本节课的学习目标。（大屏幕展示） 学习目标：1.理解一元二次方程降次的转化思想
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2.会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）=p（p≥0）
的一元二次方程．
师生活动：学生代表朗读本节课的学习目标。
设计意图：让学生明确本节课的学习内容，抓住学习重点，可以为本节课的学习起到事半功倍的效果。 （三）知识回顾
教师追问2：为了更好的完成本节课的学习目标，我们先一起复习一下平方根的相关知识，完成学案上知识回顾的内容。
知识回顾：
1. 平方根的定义：
如果一个数的 等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
2
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= 即x= 或x= ， 2.求下列各数的平方根
4 16( )，5( )，9 ( )，8( )，0( )
3.平方根的性质： 正数有 个平方根，它们是 ， 0的平方根是 ， 负数 平方根。
师生活动：由学生独立完成，学生代表回答，教师及时订正。 设计意图：通过对平方根相关知识的回顾，主要为直接开平方法解一元二次方程的学习做好铺垫。 （四）探索新知
教师追问3：我这有件事想请各位同学帮帮忙行吗？（引出问题1） 问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
仔细审题并完成以下问题：
解：设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列方程为
整理得 x2= 根据平方根的意义得，x= 即x1= ; x2= ;
师生活动：让学生独立思考并完成上述问题，然后以小组为单位，组内互查互助，最后组内代表回答。如果学生不能够独立完成可以小组内进行合作交流。
设计意图：通过将问题1设计成填空的形式，淡化列方程解方程的难
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度，引导学生自主探究、分析、总结，进而得到用直接开平方法解一元二次方程的方法，不仅让学生经历建立和求解一元二次方程的完整过程，而且又培养了学生的自主学习能力。
教师追问4：方程10×6x2=1500是几元几次方程？ 教师追问5：5和－5都是方程10×6x2=1500解吗？
教师追问6：那么问题1中盒子的棱长是5和-5吗？为什么？ 师生活动：学生独立完成，如果学生回答有困难时，教师再适时加以引导。
设计意图: 让学生体会一元二次方程的解有两个，并学会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性的习惯。
教师追问7：类似地，你能求出下列方程的解吗？它们解的情况有什么不同？
（1）x2-3=0 （2）x2=0 （3）2x2=-8
教师追问8：上述三个方程在求解时有什么特点？它们解的情况有什么不同？
师生活动：学生独立在学案上完成，然后以小组为单位，组内互相交流，最后小组代表回答。
教师追问9：若我们把上述方程看作是形如x2=p的形式，你能归纳出这类方程解的情况吗？
师生活动：学生先独立思考，并完成在学案上；然后组内进行交流，归纳出一般形式x2=p,并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况，学生代表回答，投影展示，教师板书。
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归纳：一般地，对于方程x2=p
x （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根，1?px2??p（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0 （3）当P＜0时，方程没有实数根
设计意图：根据平方根的意义解形如x2=p的方程，并根据p的取值范围讨论出方程解的三种情况，不仅为探究后面配方法的学习奠定基础，而且还向学生渗透模型化的思想和化归思想。
教师追问10：对照前面的知识，你能求出方程（x+3)2=5 的解吗 ? 师生活动：学生独立思考，并完成在学案上，然后组内互查互助，最后学生代表回答。不难想到，这一类方程与x2=p没有实质差异，也可以根据平方根的意义，利用直接开平方求解。教师可引导学生观察解方程的过程，实际上把一个一元二次方程（x+3)2=5 进行了“降次”，转化成为两个一元一次方程进行求解。
设计意图：让学生体会方程的结果特征，很自然地引出“降次”解一元二次方程的策略，为后续实现化归奠定基础。
教师追问11：上述方程若转化成形如（x+n）2=p形式，它的解有什么特点？你能归纳出用直接开平方法解一元二次方程步骤吗？
师生活动：以小组为单位合作探讨，学生进行归纳。总结出：如果方
程能转化成x2=p或（x+n)2=p (p ≥0）的形式，那么就可得x= ?p或 x+n= ?p设计意图：从特殊到一般，归纳出用直接开平方法解一元二次方程的
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