【高中数学】数学《不等式》复习知识要点
一、选择题
1．以A为顶点的三棱锥A?BCD，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8?，则以A为顶点，以面BCD为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB?x，AC?y，AD?z，球半径为R，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】
将以A为顶点的三棱锥A?BCD，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
B．4
C．6
D．7
长方体的体对角线即为三棱锥A?BCD外接球的直径， 设AB?x，AC?y，AD?z，球半径为R， 因为三棱锥外接球的表面积为8?， 则8??4?R2， 解得R?22，所以体对角线为22，
22所以x?y?z?8，
S侧面积?111yz?xy?xz 222222由于2x?y?z???4S??x?y???y?x???x?z?222?0，
所以4S?16，故S?4，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.
2．若直线A．5 B．【答案】C 【解析】∵直线∵
，∴
，
，
C．6 D．
过点，则
的最小值等于（ ）
过点，∴，∴
，
，
当且仅当
时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
x?y?2?03．在平面直角坐标系中，不等式组{x?y?2?0，表示的平面区域的面积是（ ）
y?0A．42 【答案】B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部．可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为
．故选B．
B．4
C．22 D．2
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
4．已知等差数列{an}中，首项为a1（a1?0），公差为d，前n项和为Sn，且满足
a1S5?15?0，则实数d的取值范围是（ ）
A．[?3,3]；
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n项和公式转化条件得d??分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
B．(??,?3]
C．[3,??)D．(??,?3]?[3,??)
3a1?，再根据a1?0、a1?0两种情况2a12Q数列{an}为等差数列，
?S5?5a1?5?4d?5a1?10d，?a1S5?15?5a1?a1?2d??15?0， 23a1?， 2a12由a1?0可得d??当a1?0时，d??等号成立； 当a1?0时，d??立；
?3a1?3a13a1????????2???3，当且仅当a1?3时2a122a22a12?1??3??a1?3a1??2????????3，当且仅当a1??3时等号成2a12?2a1??2??实数d的取值范围为(??,?3]?[3,??).
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
5．已知关于x的不等式?m?2?x?2?m?2?x?4?0得解集为R，则实数m的取值范
2围是（ ） A．?2,6?
C．???,2???6,??? 【答案】D 【解析】 【分析】
分m?2?0和m?2?0两种情况讨论，结合题意得出关于m的不等式组，即可解得实数
B．???,2?U?6,??? D．?2,6?
m的取值范围.
【详解】
当m?2?0时，即当m?2时，则有4?0，该不等式恒成立，合乎题意；
??m?2?0当m?2?0时，则?，解得2?m?6. 2??4m?2?16m?2?0??????综上所述，实数m的取值范围是?2,6?. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
6．已知函数f?x??log2?x2?1?x，若对任意的正数a,b，满足
?31f?a??f?3b?1??0，则?的最小值为（ ）
abA．6 【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得a?3b?1，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 因为x2?1?x?因为f?x??log2因为f?x??log2B．8
C．12
D．24
x2?x?x?x?0,所以定义域为R，
1x?1?x1x2?1?x2，所以f?x?为减函数 ，f??x??log2?x2?1?x,所以
?f?x???f??x?，f?x?为奇函数，
因为f?a??f?3b?1??0，所以f?a??f?1?3b?，a?1?3b，即a?3b?1， 所以
31?31?9ba??????a?3b????6， ab?ab?ab因为
9ba9ba??2??6， abab3111??12（当且仅当a?，b?时，等号成立），选C. ab26【点睛】
所以
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
7．已知?，?均为锐角，且满足A．
sin??????2cos?，则???的最大值为（ ）
sin?C．
?12 B．
? 6? 4D．
? 3【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan??3tan?，由?，?均为锐角，则
??????????,?，要求出???的最大值，只需求出tan(???)的最大值，利用两角差
22??的正切公式，将tan(???)表示为tan?的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由
sin??????2cos?整理得sin??????2cos?sin?，
sin?即sin?cos??cos?sin??2cos?sin?，
化简得sin?cos??3cos?sin?，则tan??3tan?， 所以
tan??????tan??tan?2tan???21?tan?tan?1?3tan?21，
?3tan? tan?又因为?为锐角，所以tan??0，
2根据基本不等式
1?3tan?tan??223?33，
当且仅当tan??因为??????3时等号成立， 3????????,?，且函数y?tanx在区间??,?上单调递增，
?22??22??. 6则???的最大值为故选:B. 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
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